В типичном варианте приложения схема ВВЦП (7.6) будет использована для определения значений Tf во всех внутренних узлах, у = 2, ..., 7-1. На границе х = 0 формула (7.32) дает

у, +1 у, +1 ..+1д (7.33)

Здесь важная проблема состоит в том, что соотношение (7.33) дает ошибку аппроксимации О (Ajc), тогда как схема ВВЦП имеет ошибку аппроксимации 0{Ах). Учитывая, что уравнение диффузии является параболическим уравнением (см. § 2.3), пониженная точность решения на границе окажет влияние на точность решения внутри области во все позднейшие моменты времени.

На основании изложенного желательно представить условие Неймана (7.3) посредством такого алгебраического выражения, которое имеет такую же ошибку аппроксимации, как и выражение, используемое для внутренних узлов. Этого можно добиться следующим образом. Формула (7.3) моделируется соотношением

(72-7o)/(2Ajc) = c . (7.34)

Чтобы добиться ошибки аппроксимации порядка О(Ах), формула (7.34) составлена со включением фиктивного узла (О, п), лежащего за пределами вычислительной области (рис. 7.9). Однако если вычислительную область условно расширить так, чтобы включить в нее указанную точку, то соотношение (7.34) может использоваться вместе с уравнением для точек внутренней области, таким, как (7.5), записанным для точки (1, п), чтобы исключить из обоих уравнений Tq. Результат имеет вид

= - 2s Ахс + (1 ~- 2s) Г? + 2sTl (7.35)

причем во всех точках области ошибка усечения имеет порядок О (А/, Ах). Если во внутренних точках используется неявная

возникает. Там, где требуется значение ГГ делается подстановка Г? = на основании (7.2).

Граничные условия Неймана в форме (7.3) ставят перед исследователем белее серьезную проблему. Величина [dT/dx]i входящая в формулу (7.3), может быть смоделирована посредством одностороннего конечно-разностного выражения с использованием информации лишь изнутри области. Результат имеет вид

7 +1)/д +1 (7 32)

7.5.2. Точность реализации граничного условия Неймана

Реализация граничного условия Неймана (п. 7.3.1), применяемого к уравнению диффузии, будет описана применительно к некоторым из схем, упоминавшимся в § 7.1 и 7.2, причем будет указано, как влияет эта реализация на суммарную точность. Решения уравнения диффузии

-а = 0 (7.37)

схема, например (7.19), то соотношение (7.34) записывается для временного слоя п -- 1 и в сочетании с уравнением (7.20) дает уравнение (см. рис. 7.9)

(1 + 2s) ГГ - 252 + = Г? - 2s Ахс\ (7.36)

которое может рассматриваться как первое уравнение трехдиагональной системы, эквивалентной системе (7.21). Эта система может решаться с помощью алгоритма Томаса. Построение, использованное для получения уравнений (7.35) и (7.36), пригодно и в том случае, когда граничные условия Неймана ставятся при X = 1 (см. рис. 7.1).

Можно ожидать, что использование различных формул на границах приведет к изменению свойств, касающихся устойчивости. Строго говоря, более или менее прямолинейный анализ устойчивости по Нейману (§ 4.3) применим только к уравнениям для внутренних точек; тем не менее, согласно предположению [Тгарр, Ramshaw, 1976], анализ по Нейману может быть эвристически распространен и на границы. Альтернативный вариант определения устойчивости полной системы уравнений, включая соотношения на границах, состоит в использовании матричного метода.

В применении к уравнению диффузии обсуждается возможность применения матричного метода к схеме Кранка - Николсона с различными граничными условиями [Mitchell, Griffiths, 1980]. Как было показано в этой работе, схема Кранка - Николсона с граничными условиями Дирихле является безусловно устойчивой. С граничными условиями Неймана схема Кранка - Николсона устойчива, однако одно из собственных значений матрицы усиления равно единице, что дает осциллирующее решение. Для смешанного граничного условия общего вида необходимо вводить дополнительное ограничение на параметры граничного условия, чтобы обеспечить устойчивость.

будут строиться здесь в пространственном интервале 0.1 X 1.0 при граничных условиях

дТ ...... г /я\2 л

= с = 2 ~ 2л Sin (0.05я) ехр [- а / при =1.0.

дх Т = 2

Начальные условия выбраны в форме

r = (2x + 4cos(0.5njc) при = 0. Данная задача имеет точное решение

Г = 2х + 4 cos {0.5пх) ехр [- а (-у У /].

при jc = 0.1,

(7.38)

(7.39)

(7.40)

которое будет использовано для оценки точности численного решения.

Численные решения вышеописанной задачи были получены с помощью модифицированной формы программы DIFEX (рис. 7.4). Среднеквадратичные ошибки для сеток различного размера приводятся в табл. 7.8. Эти ошибки были рассчитаны при t = 9.00. Чтобы избежать ошибок, связанных с реализацией начальных условий, такие условия при t = 0.80 были сформулированы при помощи точного решения (7.40). Все решения, демонстрируемые в табл. 7.8, были получены при значении s = = 0.30.

Таблица 7.8. Явные схемы для внутренних точек с граничным условием Неймана при jc = 0.l

Сочетание реализации граничного условия в форме (7.32) со схемой ВВЦП дает, как видно из таблицы, сравнительно неточное решение, точность которого возрастает с измельчением сетки примерно по линейному закону. Таким образом, первый