довольно велик, особенно на мелкой сетке. Это наводит на мысль о том, что вклады в решение различных собственных векторов, отраженные в формуле (7.60), будут затухать с различными скоростями.

Если для решения системы (7.42) используется явная схема, то ограничение на величину шага по времени будет определяться значением ReA;max. Однако время, в течение которого нужно проводить интегрирование, будет определяться значением IReAlmin. Отношение КеЯлтах/КеА,лт1п называется коэффициентом жесткости. Если этот коэффициент очень велик,

порядка 10 *-10, то система ШНЬЛ обыкновенных дифференци-

альных уравнений называется жесткой. Ясно, что для решения жестких систем желательно иметь алгоритмы, несвязанные ограничениями на шаг по времени.

Безусловная устойчивость подобного рода гарантируется, если численный метод обладает А-устойчивостью [Dahlquist, 1963), т. е.. если область его абсолютной устойчивости включает в себя всю левую полуплоскость КеЯ-А<0. Но понятие Л-устойчивости содержит весьма высокое требование. Ни одна из явных схем, будь то линейная многошаговая или схема Рунге -Кутты, не является Л-устойчивой. Наивысший возможный порядок из числа Л-устойчивых схем имеет неявная линейная многошаговая схема второго порядка.

Родственное, хотя и менее суровое понятие, связанное с устойчивостью, -- это устойчивость типа Л (а) [Widlund, 1967], представление о которой иллюстрируется на рис. 7.10. Метод обладает устойчивостью типа Л (а), если можно построить бесконечный клин, симметричный относительно отрицательной вещественной полуоси и имеющий угол полураствора а, внутри которого метод является абсолютно устойчивым. Если все собственные значения матрицы А вещественны, что имеет место для уравнения (7.41), то численный метод, обладающий устойчивостью типа Л(0), будет эффективным, даже если система жесткая.

При построении решения задач об установившемся течении численный алгоритм нередко основан на эквивалентной псевдонестационарной процедуре (см. § 6.4). Чтобы достичь ста-

Рис. 7.10. Устойчивость типа Л (а).

§ 5.7. Заключение 321

ционарного решения наиболее эффективным путем, строятся неявные схемы, основанные на известных свойствах, касаю-шихся устойчивости эквивалентных алгоритмов для обыкновенных дифференциальных уравнений [Beam, Warming, 1979]. Неявные алгоритмы такого рода (гл. 8-10, 14, 17 и 18) оказываются обычно эквивалентными линейным многошаговым методам низкого порядка.

Процессы приспособления вычислительных алгоритмов к специфическим свойствам векторных и параллельных процессоров [Ortega, Voigt, 1985] возродили интерес к явным методам, даже с целью построения стационарных решений на основе псевдонестационарных формулировок. Такие формулировки часто основаны на использовании схем Рунге - Кутты с маршевым цродвижением по времени в сочетании с построениями метода прямых (гл. 14 и 18).

§ 7.5. Заключение

Для одномерного уравнения диффузии были построены явные схемы, имеющие порядок вплоть до четвертого. Повышенные порядки точности достигались за счет взаимной компенсации ошибок усечения, связанных с дискретизацией пространственного члена дТ/дх на различных временных слоях п и члена с производной по времени дТ/dt в различных пространственных точках у. На практике при этом требуется сделать такой специальный подбор свободных параметров, как в соотношении (7.15), чтобы члены низкого порядка в выражении для ошибки усечения стали тождественно равными нулю.

При использовании явных схем для получения устойчивых решений обычно возникает необходимость выбора не превышающего некоторого максимального значения (посредством ограничения на параметр s). Как правило, применение явных схем повышенного порядка связано с более суровыми ограничениями на А, обусловленными устойчивостью. В случае схемы Дюфорта - Франкела необходимо ограничивать величину

чтобы получить приемлемо точные решения, несмотря на то что устойчивые решения могут быть получены при очень больших значениях Д.

Неявные схемы часто позволяют добиться безусловной устойчивости ценой добавочных вычислительных усилий. До тех пор пока неявную схему можно ограничить трехдиагональной формой, суммарный вычислительный труд, вкладываемый в нее, будет примерно вдвое превышать труд по решению на основе эквивалентной явной схемы. Включение дополнительных членов на неявном (M-fl)-M временном слое позволяет

21 к. Флетчер, т. 1 i

проявить больше гибкости в построении схем повышенного порядка. Однако, как свидетельствуют результаты (табл. 7.8), для получения значительного улучшения точности может оказаться необходимым вводить мелкую сетку.

Если задача, описываемая уравнением диффузии, требует задания граничного условия для производной, то возникают дополнительные ошибки, связанные с дискретизацией граничного условия. При решении задач, определяемых параболическим дифференциальным уравнением, весьма важно, чтобы дискретизация граничных условий с производными осуществлялась с помощью формул такого же порядка точности, как и внутри области.

При помощи дискретизации одного лишь пространственного члена исходное дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП) преобразуется к полудискретной форме, сводящейся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) по времени. В результате различные алгоритмы, разработанные специально для ОДУ, становятся пригодными для решения ДУЧП. Подчеркивается, однако, что эквивалентная система ОДУ содержит ошибки, обусловленные пространственной дискретизацией. Это обстоятельство несколько уменьшает стремление к использованию алгоритмов решения ОДУ, имеющих очень высокий порядок. Обращение к полудискретной форме оказывается удобным, когда для дискретизации пространственных членов применяется спектральный метод (§ 5.6, п. 15.3.3 и 17.1.6).

§ 7.6. Задачи

Явные методы (§7.1)

7.1. Выведите (а) формулу (7.14), (Ь) уравнение (7.17).

7.2. Проведите приближенный подсчет числа операций для схем ВВЦП, Дюфорта - Франкела и трехслойной схемы четвертого порядка {у = 0) при s = 0.30, затем сравните их вычислительную эффективность.

7.3. Постройте двухслойную пятиточечную схему, имеющую четвертый порядок точности. В окрестности границ понадобятся несимметричные пятиточечные формулы. С помощью анализа по Нейману проверьте устойчивость данной схемы. Получите численные результаты (если возможно), подтверждающие необходимость ограничений, связанных с устойчивостью и со скоростью сходимости.

7.4. Рассмотрите уравнение (7.13) с отрицательными значениями у, поставив целью убедиться в возможности построения устойчивых и точных решений. В случае у = -0.5 может ли схема (7.13) быть видоизменена так, чтобы она походила на схему Дюфорта - Франкела, т. е. за счет изменения Р-комплекса в дискретном представлении пространственной производной? Если да, то установите, может ли быть построена устойчивая и имеющая высокую точность схема Дюфорта - Франкела?