Неявные методы (§ 7.2)

7.5. Выведите формулу (7.30).

7.6. Примените анализ устойчивости по Нейману к системе (7.31) с параметром р, выраженным по формуле (7.30), чтобы в плоскости у, s определить границу области устойчивого поведения для случаев: (а) 6 = О, (Ь) б = 1/12, (с) б = 1/6.

7.7. При б = 1/6, Y = О, Р = 1 и S = 1/6 схема (7.31) становится явной. Сравните полученные для этого случая решения с теми, которые получаются с применением схемы ВВЦП. Исследуйте другие комбинации параметров, превращающие схему (7.31) в явную.

7.8. С помощью программы DIFIM получите решения для случаев ME = = 4, 5 при у = 0.5. Сравните точность и скорость сходимости с данными, приводимыми в табл. 7.6.

7.9. Проведите приближенный подсчет числа операций для случаев МЕ= = 1, 4 и Y = О в табл. 7.6 и сравните вычислительную эффективность при S = 1.0 с эффективностью схемы ВВЦП при s = 0.5 и схемы Дюфорта - Франкела при s = 0.3.

Граничные и начальные условия (§ 7.3)

7.10. Видоизмените программу DIFEX, чтобы ввести и учесть в ней: (а) граничное условие Неймана (7.32) с первым порядком точности, (Ь) граничное условие Неймана (7.34) со вторым порядком точности, и воспроизведите результаты, приводимые в табл. 7.8.

7.11. Видоизмените программу DIFIM, чтобы ввести и учесть в ней: (а) граничное условие Неймана (7.32) с первым порядком точности, (Ь) граничное условие Неймана (7.34) со вторым порядком точности, и получите результаты, приведенные в табл. 7.10. При JMAX = 6 сравните распределение ошибки с тем, которое приводится в табл. 7.9.

7.12. Для схемы Дюфорта - Франкела, начиная с точного решения (подпрограмма ЕХТРА) при t = 2.00, введите схему ВВЦП на более мелкой сетке по X и t для получения второго слоя начальных данных. При s = 0.3 и S = 0.5 сравните точность решения по схеме Дюфорта - Франкела с ис-пользованием схемы ВВЦП на начальном участке в момент времени t =

= 9.00 с решением, в котором два слоя начальных данных задаются точным решением при t = 2.00 и t = 2.00 - АЛ

Глава 8

Многомерное уравнение диффузии

Материал, изложенный в гл. 7, позволяет сделать общий вывод о том, что для решения задач с существенным влиянием диссипации, например определяемых одномерным уравнением диффузии, неявные схемы оказываются более эффективными, чем явные.

Распространяя неявные схемы на многомерные задачи и желая при этом получить экономичные алгоритмы, необходимо прибегать к специальным процедурам. Эти специальные процедуры зачастую строятся на идее о том или ином способе расщепления уравнения при использовании удобного координатного базиса (§ 8.2, 8.3 и 8.5). Применение расщепляющих построений требует особого внимания, если необходимо выполнить граничные условия для производных (условия Неймана, см. § 8.4). Приемы расщепления, разрабатываемые в данной главе, применимы к методам конечных разностей, конечных элементов и конечных объемов.

§ 8.1. Двумерное уравнение диффузии

Уравнение диффузии в двух измерениях имеет вид

Для области, показанной на рис. 8.1, граничные условия Дирихле записываются в виде

Г (О, у, t) = a{y. О,

f{l,yyt) = b{y,tl (8.2)

f{x, О, t) = c{x, О, f{x, 1, t) = d{x, t), a начальные условия - в виде

Г(х, у, 0) = Го(, У). (8.3)

Типовые схемы явного и неявного счета, разработанные для одномерного уравнения диффузии, в этом параграфе будут распространены на случай двух измерений, чтобы уяснить, будут ли они непосредственно применимы.

8,1,1. Явные методы Схема ВВЦП в двух измерениях имеет форму

(8.4)

Lxxl /. k =--

И Т. д.

Если придать этому вид алгоритма, то получим

= SxTU. k + {l-2sx- 2sy) П k + SxTU, k + + SyTl,k-\ + SyT],k+\,

(8.5)

где Sx = axM/Ax n Sy = ауМ/Ау. Разложение в ряд Тейлора в окрестности узла (/, Л, п) свидетельствует о том, что уравне-

к=т-к

=Hy,t)

к=\

j=NX J

х=0 T(x,0,t) =c(x,t) x=i

Рис. 8.1. Двумерная область и граничные условия Дирихле.

ние (8.5) согласуется (§ 4.2) с уравнением (8.1) и имеет ошибку аппроксимации порядка О {At, Aл: Дг/).

Как показывает анализ устойчивости по Нейману, схема (8.5) будет устойчивой, если

s + Sy< 0.5. (8.6)

Можно заметить, что если Sx = Sy = s, то условие (8.6) дает S 0.25, а это ограничение более строгое, чем соответствующее условие для одномерного условия (п. 7.1.1). Однако если для Получения достаточно точного решения приходится выбирать