малый шаг по времени, то ограничительное условие на устойчивость может и не быть критическим.

Для случая а = ах = ау и Ах = Ау в книге [Mitchell, Griffiths, 1980] предлагается обобщение схемы (8.4), т. е.

- aUxTl k - o.LyyTl\ - MLxxLyyTl, = О, (8.7>

которое устойчиво в диапазоне О < s 0.5. Несмотря на то что схема (8.7) девятиточечная, ее экономическую реализацию можно осуществить в два этапа:

r;., = (l-f аДадгЬ, (8.8>

Ttk={\+aMLxx)Tlk (8.9)

В случае трех измерений эта схема превращается в трехэтап-ный алгоритм, при этом сохраняется одномерный диапазон устойчивости О <: S 0.5. В отличие от этого трехмерная схема ВВЦП при Ал: = Ау = Аг остается устойчивой в диапазоне О < 5 1/6.

Одним из более интересных явных алгоритмов является метод классики [Gourlay, 1970]. В своем простейшем варианте этот метод может рассматриваться как двухэтапная схема ВВЦП. На первом этапе алгоритм (8.5) применяется ко всем узловым точкам, для которых сумма j-\-k + n четная; иначе говоря, это относится к ячейкам сетки, соответствующим черным квадратам шахматной доски. На втором этапе нижеследующее уравнение решается для всех тех узловых точек, для которых сумма / -- й -f п нечетная, т. е. применительно к белым квадратам эквивалентной шахматной доски.

(1 -f 2sx + 2sy)Ttk =Пи + sx (гГ/. k + ТП1 k) +

+ Sy{Ttk-x + Ttk\i), (8.10)

Члены в правой части уравнения (8.10), определенные в момент времени л+ь известны из результатов первого этапа. Простой метод классики дает ошибку аппроксимации О {At, Ах, Ау), однако в отличие от схемы ВВЦП он является безусловно устойчивым. Более подробное обсуждение серии методов классики можно найти в книге [Mitchell, Griffiths, 1980].

8.1,2. Неявный метод

Действуя таким же образом, как и при решении одномерных задач, можно построить неявную схему, для которой пространственные производные в уравнении (8.1) определяются на вре-

меннбм слое (п+1). В результате получается алгоритм

- SxT?ll k + (l + 2sx + 2sy) Ttk - sjni k -

- SyTfX-i - SyTlX+i = T], k (8.11)

Данная схема имеет ошибку аппроксимации 0(Д/, Дл:, Ау) и является безусловно устойчивой. Однако трудность здесь заключается в том, чтобы предложить экономичный метод решения уравнений, получаемых после применения схемы (8.11) к каждому узлу сетки.

Обращаясь к уравнению (8.11), можно дать такую нумерацию узлов, чтобы три члена находились на главной диагонали или рядом с ней, тогда как два других члена были бы отделены от трех упомянутых некоторым числом внутренних узлов сетки (напримр, NX -2 на рис. 8.1). Из сказанного следует, что алгоритмом Томаса воспользоваться нельзя. Использование обычного метода исключения Гаусса (п. 6.2.1) было бы чрезвычайно неэкономичным; вариант исключения по Гауссу для разреженных матриц также остался бы неприемлемо расточительным в применении к мелким сеткам.

§ 8.2. Методы расщепления для многомерных задач

Трудность, связанная с двумерной неявной схемой, может быть преодолена путем расщепления алгоритма решения или системы алгебраических уравнений на два полушага, дающих в сумме продвижение на один шаг по времени. На каждом полушаге неявная трактовка дается только членам, связанным с определенным координатным направлением. Следовательно, появятся только три неявных члена, которые могут быть сгруппированы в окрестности главной диагонали. В результате для построения решения может быть использован чрезвычайно эффективный алгоритм Томаса. Суммарный процесс интерпретации каждого шага по времени в форме последовательности более простых дробных шагов называется расщеплением (по времени).

8.2.1. Неявный метод переменных направлений (НПН)

Наиболее известным вариантом методики расщепления является неявный метод переменных направлений (НПН), предложенный в работе [Peaceman, Rachford, 1955]. Мы подробно рассмотрим этот метод, а затем предложим более общий подход, основанный на расщеплении.

Схема НПН для решения уравнения (8.1) записывается в виде двух полушагов по времени, как будет показано ниже.

На первом полушаге используется следующий вариант дискретизации:

- axLxxTj, k - yLyyT], л = 0>

а на втором -

- dxLxxTj, k - yLyyTf k =0.

At/2

(8.12)

(8.13>

В течение первого полушага решение Т известно на временном слое п, но неизвестно на слое (/z-f 1/2), обозначаемол

Прогонка в направлении х (постоянное к), выполняемая на 1-м шаге по времени

Прогонка в направлении / (постоянное / ), выполняемая на 2-м шаге по времени

Рис. 8.2. Реализация схемы НПН.

звездочкой. Однако неизвестные узловые значения Г* связаны только с продвижением по направлению х (т. е. при постоянном значении k на рис. 8.2). Уравнение (8.12) может быть переписано как одно уравнение из системы, а именно

- o.5s/; + (1 + sj г; - o.5s/; =

= O.bsyTl, 1 + (1 s,) Г/% -f О.ЪзуП ki.

(8.14)

Остальные уравнения той же системы формируются около других узлов той же строки k. Таким образом, решение полученной системы уравнений дает промежуточное решение Г* / = 2, ..., NX- 1, справедливое лишь для одного значения k. Далее системы уравнений решают относительно Г , / = 2, ... ..., NX - 1, для каждой строки, т. е. для k = 2, ..., NY - используя при этом алгоритм Томаса.