www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

справедливая на каждой из сеточных линий, параллельных оси у (линии постоянного / на рис. 8.2). Структура уравнений

(8.23) и (8.24) аналогична структуре уравнений (8.14) и (8.15), характеризующих схему НПН. В случае уравнений более сложной формы основной вклад в суммарное время исполнения алгоритма вносит расчет всех пространственных членов в правых частях уравнений (8.23). Реализация, рассматриваемая здесь, требует лишь однократного расчета пространственных членов на одном шаге по времени. В отличие от этого схема НПН требует проведения двух подобных расчетов. Алгоритм (8.23),

(8.24) предложен в работе [Douglas, Gunn, 1964]. Двухэтапный алгоритм (8.23), (8.24) является безусловно

устойчивым при р 0.5 и имеет ошибку аппроксимации порядка 0(А2, Ах, Ау2), если р = 0.5. Построение, связанное с приближенной факторизацией, обобщается и на случай трех измерений, причем в отличие от схемы НПН соответствующая схема безусловно устойчива при р 0.5.

Если изложенная здесь методика используется для построения решений стационарных задач в форме предельного стационарного состояния решений для соответствующих нестационарных задач (§ 6.4), то полезно в уравнение (8.23) ввести определение

RHS = (axLxx + ayLyy) П ь (8.25>

По мере приближения к стационарному решению величина RHS стремится к нулю; следовательно, контроль за изменением RHS даст возможность установить близость к стационарному решению.

8.2,3. Обобщенная трехслойная схема

Обобщенная трехслойная неявная схема для решения одномерного уравнения диффузии задавалась в форме (7.25). Соответствующая трехслойная схема для случая двух измерений записывается в виде

.----- = (1 - Р) (axLxx + (yLyy)Tf, k +

+ Р Мхх + ayLyy) Ttk , (8.26)

n, = Tik-TU.

Если применить то же самое построение, которое использовалось для перехода от соотношения (8.18) к уравнениям (8.23) и (8.24), то из (8.26) получится следующий двухэтапный ал-



горитм. На первом этапе соотношение

=-(гт¥ + *+1г+уГ * -

дает возможность получить трехдиагональную систему уравнений, относящихся к каждой сеточной линии, параллельной оси X.

На втором этапе каждого шага по времени используется следующее уравнение:

(1 ~ jrhi) УУу) Д = Д/ (8.28)

При выборе специальных значений Р = 1, у = 0.5 двухэтап-ный алгоритм, заданный с помощью уравнений (8.27) и (8.28), согласуется с уравнением (8.1) с ошибкой аппроксимации 0(А2, Дл:2, А(/2) и является безусловно устойчивым. При реализации первого шага по времени (п = 0) необходимо воспользоваться двухслойной схемой, подобной (8.23), (8.24).

Рассмотренные в этом параграфе схемы расщепления естественным образом обобщаются и на случай трех измерений [Mitchell, Griffiths, 1980]. Современный подход к процессам расщепления, при котором неявное уравнение дополняется некоторым членом, как правило, порядка 0{At) с целью осуществления факторизации, подробно обсуждается в работе [Gourlay, 1977]. При решении уравнения диффузии в двух или трех измерениях имеется возможность применения схем расщепления повышенного порядка. Некоторые из таких схем рассматриваются в книге [Mitchell, Griffiths, 1980].

§ 8.3. Схемы расщепления и метод конечных элементов

Здесь мы будем применять метод Галёркина с конечными элементами (§ 5.3) к решению двумерного уравнения диффузии (8.1) с граничными и начальными условиями, заданными в форме (8.2) и (8.3), и попытаемся определить, нуждаются ли в модификации схемы расщепления, разработанные в § 2.8, чтобы охватить конечно-элементную разновидность дискретизированных уравнений. Воспользуемся элементами прямоугольной формы с билинейными интерполяционными функциями типа (5.59) внутри каждого элемента. Если метод Галёркина с конечными элементами применяется на сетке, однородной в



My(8>LxxTf,k-\{ -

-1. k+\ - 2/. fe+l + /+1, k+l

(8.32)

Введенное ранее конечно-разностное представление, например в форме (8.4) и следующих за этим соотношений, может рассматриваться в рамках соотношения (8.29), если определить конечно-разностные массовые операторы по направлениям с помощью выражений

Mi = {M[f = {0, 1, 0),

так что конечно-разностные выражения будут содержать только три члена.

Что касается дискретизации многомерных уравнений, проводимой на основе конечно-элементного и конечно-разностного подходов, то метод конечных элементов моделирует пространственные производные по данным, распределенным в пределах некоторой площадки, тогда как метод конечных разностей моделирует те же производные по данным вдоль определенного пространственного направления. Вообще говоря, конечно-элементная формулировка более точна, но вместе с тем и ме-

направлениях х и у, то после деления всех членов на АхАу получим

® My [Щ = а,Му ® L,Jj + ауМ ® L/y, ь (8.29)

где знак ® обозначает тензорное (или внешнее) произведение [Mase, 1971]; Мх и My - массовые операторы соответствующих направлений, а Lxx и Lyy - разностные операторы тех же направлений (см. приложение А.2). Массовые операторы по направлениям имеют вид

M, = (l/6, 2/3, 1/6), М = (1/6, 2/3, 1/6) (8.30) а разностные операторы по направлениям - вид

(а! aF а]? ) уу {Т* а* Ар )

(8.31)

Таким образом, член My ® LxxTj\ k дает девятиточечное представление производной дТ/дх. Обращаясь к рис. 8.3, получим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика