справедливая на каждой из сеточных линий, параллельных оси у (линии постоянного / на рис. 8.2). Структура уравнений

(8.23) и (8.24) аналогична структуре уравнений (8.14) и (8.15), характеризующих схему НПН. В случае уравнений более сложной формы основной вклад в суммарное время исполнения алгоритма вносит расчет всех пространственных членов в правых частях уравнений (8.23). Реализация, рассматриваемая здесь, требует лишь однократного расчета пространственных членов на одном шаге по времени. В отличие от этого схема НПН требует проведения двух подобных расчетов. Алгоритм (8.23),

(8.24) предложен в работе [Douglas, Gunn, 1964]. Двухэтапный алгоритм (8.23), (8.24) является безусловно

устойчивым при р 0.5 и имеет ошибку аппроксимации порядка 0(А2, Ах, Ау2), если р = 0.5. Построение, связанное с приближенной факторизацией, обобщается и на случай трех измерений, причем в отличие от схемы НПН соответствующая схема безусловно устойчива при р 0.5.

Если изложенная здесь методика используется для построения решений стационарных задач в форме предельного стационарного состояния решений для соответствующих нестационарных задач (§ 6.4), то полезно в уравнение (8.23) ввести определение

RHS = (axLxx + ayLyy) П ь (8.25>

По мере приближения к стационарному решению величина RHS стремится к нулю; следовательно, контроль за изменением RHS даст возможность установить близость к стационарному решению.

8.2,3. Обобщенная трехслойная схема

Обобщенная трехслойная неявная схема для решения одномерного уравнения диффузии задавалась в форме (7.25). Соответствующая трехслойная схема для случая двух измерений записывается в виде

.----- = (1 - Р) (axLxx + (yLyy)Tf, k +

+ Р Мхх + ayLyy) Ttk , (8.26)

n, = Tik-TU.

Если применить то же самое построение, которое использовалось для перехода от соотношения (8.18) к уравнениям (8.23) и (8.24), то из (8.26) получится следующий двухэтапный ал-

горитм. На первом этапе соотношение

=-(гт¥ + *+1г+уГ * -

дает возможность получить трехдиагональную систему уравнений, относящихся к каждой сеточной линии, параллельной оси X.

На втором этапе каждого шага по времени используется следующее уравнение:

(1 ~ jrhi) УУу) Д = Д/ (8.28)

При выборе специальных значений Р = 1, у = 0.5 двухэтап-ный алгоритм, заданный с помощью уравнений (8.27) и (8.28), согласуется с уравнением (8.1) с ошибкой аппроксимации 0(А2, Дл:2, А(/2) и является безусловно устойчивым. При реализации первого шага по времени (п = 0) необходимо воспользоваться двухслойной схемой, подобной (8.23), (8.24).

Рассмотренные в этом параграфе схемы расщепления естественным образом обобщаются и на случай трех измерений [Mitchell, Griffiths, 1980]. Современный подход к процессам расщепления, при котором неявное уравнение дополняется некоторым членом, как правило, порядка 0{At) с целью осуществления факторизации, подробно обсуждается в работе [Gourlay, 1977]. При решении уравнения диффузии в двух или трех измерениях имеется возможность применения схем расщепления повышенного порядка. Некоторые из таких схем рассматриваются в книге [Mitchell, Griffiths, 1980].

§ 8.3. Схемы расщепления и метод конечных элементов

Здесь мы будем применять метод Галёркина с конечными элементами (§ 5.3) к решению двумерного уравнения диффузии (8.1) с граничными и начальными условиями, заданными в форме (8.2) и (8.3), и попытаемся определить, нуждаются ли в модификации схемы расщепления, разработанные в § 2.8, чтобы охватить конечно-элементную разновидность дискретизированных уравнений. Воспользуемся элементами прямоугольной формы с билинейными интерполяционными функциями типа (5.59) внутри каждого элемента. Если метод Галёркина с конечными элементами применяется на сетке, однородной в

My(8>LxxTf,k-\{ -

-1. k+\ - 2/. fe+l + /+1, k+l

(8.32)

Введенное ранее конечно-разностное представление, например в форме (8.4) и следующих за этим соотношений, может рассматриваться в рамках соотношения (8.29), если определить конечно-разностные массовые операторы по направлениям с помощью выражений

Mi = {M[f = {0, 1, 0),

так что конечно-разностные выражения будут содержать только три члена.

Что касается дискретизации многомерных уравнений, проводимой на основе конечно-элементного и конечно-разностного подходов, то метод конечных элементов моделирует пространственные производные по данным, распределенным в пределах некоторой площадки, тогда как метод конечных разностей моделирует те же производные по данным вдоль определенного пространственного направления. Вообще говоря, конечно-элементная формулировка более точна, но вместе с тем и ме-

направлениях х и у, то после деления всех членов на АхАу получим

® My [Щ = а,Му ® L,Jj + ауМ ® L/y, ь (8.29)

где знак ® обозначает тензорное (или внешнее) произведение [Mase, 1971]; Мх и My - массовые операторы соответствующих направлений, а Lxx и Lyy - разностные операторы тех же направлений (см. приложение А.2). Массовые операторы по направлениям имеют вид

M, = (l/6, 2/3, 1/6), М = (1/6, 2/3, 1/6) (8.30) а разностные операторы по направлениям - вид

(а! aF а]? ) уу {Т* а* Ар )

(8.31)

Таким образом, член My ® LxxTj\ k дает девятиточечное представление производной дТ/дх. Обращаясь к рис. 8.3, получим