<~-г----/-1

Прогонка в направлении х Прогонка в направлении у

(постоянное к) (постоянное /)

(а) Конечно-элементная формулировка о-------

/ / /

---<i-----k-l

Прогонка в направлении x Прогонка в направлении /

(постоянное/с) (постоянное/)

(Ь) Конечно-разностная формулировка

Рис. 8.3. Активные узлы для схем расщепления по уравнениям (8.23), (8.24)

или (8.39), (8.40).

дет содержать 25 членов. Однако такое выражение согласуется, как правило, с представлением производной дТ/ду с точностью до членов порядка 0(Д(/).

8.3Л, Приемы расщепления конечно-элементных уравнений

Здесь будет изложено два способа расщепления конечно-элементных уравнений. Первый из этих способов приводит к алгоритму, аналогичному схеме НПН (8.14), (8.15). Второй алгоритм сводится к выражению решения через поправки ATjkr как по схеме (8.23), (8.24).

Так же как и при исследовании одномерного уравнения диффузии, в соотношение (8.29) будет вводиться конечно-разност-

нее экономична, так как связана с расчетом большего числа членов.

Если вместо линейных лагранжевых элементов используются квадратичные лагранжевы элементы, то каждый из массовых и разностных операторов будет содержать уже по пять членов, так что тензорное произведение типа Мх ® lyyT k бу-

ное представление производной dT/dt, а пространственные члены будут моделироваться средневзвешенными значениями для /г-го и (n-f 1)-го слоев по времени. Таким образом, соотношение (8.29) заменяется выражением

® My = {а.Му ® + ciyMx ® Lyy) [(1 - Р) Tl и + РГГЛ

(8.33)

Уравнение (8.33) представляет собой конечно-элементный эквивалент уравнения (8.17). Расщепление типа НПН с конечными элементами осуществляется путем введения в левую часть уравнения (8.33) дополнительного члена

AtaxayLxx ® Lyy [рГ- (1 ~ Р) Г], так что это уравнение принимает вид (Мх - MLxx) ® {My - ау At Lyy) Ttk =

= [Мх + аИ1 - Р) tLxx] ® [My + ау{\ р) AtLyy] Tl л. (8.34)

Решение уравнения (8.34) может быть весьма эффективно проведено в два этапа. На первом из них соотношение

(М - а.р /AtLxx) Tl k = [My + ay{\) /AtLyy] Tl k (8.35)

позволяет получить трехдиагональную систему на каждой из сеточных линий, параллельных оси х. На втором этапе соотношение

{My - ар AtLyy) Ttk = [Мх + аЛ 1 - Р) Lxx\ т], k (8.36)

приводит к трехдиагональной системе на каждой из сеточных линий, параллельных оси у.

При р = 0.5 единственным различием между конечно-элементной конструкцией типа НПН в форме (8.35), (8.36) и конечно-разностной конструкцией НПН вида (8.14), (8.15) будет появление в первой из них массовых операторов. Конечно-элементный алгоритм по схеме НПН является экономичным, имеет второй порядок точности по времени и пространству и обладает безусловной устойчивостью при р 0.5 + (б - 0.25)/s, где б определяется по формуле (8.44), а вместо 5 можно использовать Sx или Sy.

Расщепление может осуществляться и другим способом. При этом член Г Д\ находящийся в правой части уравнения (8.33), разлагается в ряд Тейлора в окрестности /г-го временного слоя с отбрасыванием членов 0{At), После перегруппи-

Если в левую часть уравнения (8.37) ввести дополнительный член ISt\xayLxx® Lyy ATl, то получится расщепляющееся уравнение

{Мх - р MaxLxx) ® (М - р ШуЕуу) ATtk =

= Д/ {ахМу ® Lxx + dyMx ® Lyy) Tl ь (8.38)

причем реализация расщепления включает соотношение

(М - р Шх Lxx) 1 k = М (ахМу ® Lxx + dyMx ® L,/,/) Г?, н (8.39)

для всех сеточных линий, идущих в направлении Jc, а также соотношение

(М; - р MayLyy) ATtk = АГ;. (8.40)

для всех сеточных линий, идущих в направлении у.

Уравнения (8.39), (8.40) можно сравнить с уравнениями (8.23), (8.24). Правая часть уравнения (8.39) требует большего времени для своего расчета, чем правая часть (8.23). Расчет правых частей осуществляется на временном слое м. Как можно видеть из рис. 8.3, схема метода конечных элементов охватывает девять активных узлов на п-ы слое по времени по сравнению с пятью активными узлами для схемы конечно-разностного метода. Однако процесс расчета членов уравнения (8.39), а также реализация решения трехдиагональных систем уравнений для обеих формулировок различаются несущественно. Как свидетельствуют вычислительные эксперименты, метод конечных элементов работает, вообще говоря, медленнее метода конечных разностей, но обычно обеспечивает более точное решение.

Вычислительный алгоритм (8.39), (8.40) согласуется с уравнением (8.1) при ошибке аппроксимации порядка 0(A Дл:, Af/2), если р = 0.5. Такие же уравнения по схеме с расщеплением будут получены, если вместо линейных лагранжевых элементов использовать квадратичные лагранжевы элементы (п. 5.3.2); при этом, однако, операторы Мх, Lyy и т. д. будут содержать максимальное число членов, т. е. пять вместо трех [Fletcher, 1984].

22 К. Флетчер, т. 1

ровки результат может быть записан в виде

1Мх(Му-М {аМу ® Lxx + ауМх ® Lyy)] ltk =

= М {аМу ® Lxx + ауМх ® Lyy) Tl (8.37)