После этого дискриминант В - ААС преобразуется к форме £2 3= р [{ву - ААС], (2.19)

где якобиан преобразования 1 = ЬхЦу - 1>уЦх Формула (2.19) приводит к важному результату, гласящему, что классификация ДУЧП остается одной и той же, будет ли она определена в декартовых координатах по уравнению (2.8) или же в координатах (g, Y]) по уравнению (2.17) с формулами (2.18). Таким образом, введение преобразования координат не изменяет типа ДУЧП.

Распространение принципа исследования характеристик на уравнения более чем с двумя независимыми переменными оказывается менее полезным. В случае т измерений следует рассматривать [т-1)-мерные поверхности. Тем не менее исследование коэффициентов при старших производных в принципе может дatь полезную информацию. Например, в случае трех измерений уравнение (2.8) будет заменено на уравнение

1 + + с0 + °1Йг + -& + + = о-

(2.20)

Необходимо найти такое преобразование g = g(jc, у, 2), т] = = т](л:, у, г), = (х, у, г), в результате которого исчезли бы все смешанные производные по (g, т], t). Такой подход не годится в случае более чем трех независимых переменных, но тогда удобно заменить (2.20) на уравнение вида

где N - число независимых переменных, а коэффициенты Ujk заменяют коэффициенты от Л до f в (2.20). Упомянутое ранее преобразование, выполняемое с целью избавления от смешанных производных, эквивалентно нахождению собственных значений матрицы А, имеющей элементы ajk

Следуя Честеру [Chester, 1971], можно дать следующую классификацию:

1) Если какое-либо из собственных значений % равно нулю, уравнение (2.21) является параболическим.

2) Если все собственные значения отличны от нуля и имеют одинаковый знак, уравнение (2.21) является эллиптическим.

3) Если все собственные значения отличны от нуля и все, кроме одного, имеют одинаковый знак, уравнение (2.21) является гиперболическим.

Учитывая, что и и v являются функциями х и у, можно записать следующие соотношения:

-(t)*+(f)*.

= (2.26)

При решении задачи, показанной на рис. 2.3, предполагается, что решение уже было определено в области ACPDB. Как и прежде, в точке Р ищутся два направления dy/dx, вдоль которых появляются только полные дифференциалы du и dv. Для системы уравнений (2.22) и (2.23) это эквивалентно нахождению таких множителей Li и L2, что

Ll X (2.22) + L2 X (2.23) mydu + dv = ЦЕ + (2.26)

Раскрытие членов, входящих в соотношение (2.26), позволяет получить соотношения

Ln + M21 = Щ dx, ЦВи + L2B21 = mi dy,

L1A12 +L2A22 = fn2dXy 11612 + 222 = 2-

Для случая трех независимых переменных Хелвиг [Hellwig, 1964] предлагает эквивалентную классификацию, основанную на значениях коэффициентов при производных в преобразованных уравнениях.

При числе независимых переменных, превышающем два, часто можно получить полезную информацию относительно свойств дифференциального уравнения в частных производных рассматривая двумерные поверхности, т. е. путем выбора некоторых определенных координатных значений. Так, например, характер уравнения (2.20) можно установить в плоскости л: = const, временно замораживая все члены с производными по л: и рассматривая полученное таким образом уравнение как уравнение для функции двух независимых переменных.

2.1.4. Системы уравнений

Как показывает исследование, проведенное в гл. 11, определяющие уравнения для гидроаэродинамических задач часто составляют систему, а не приводятся к одному уравнению. Система из двух ДУЧП первого порядка с двумя независимыми переменными может быть представлена в виде

п: + 5 - + Л.-Й- + В. = £ (2.22) ди (2.23)

После исключения mi и тг и перегруппировки членов получаем

= 0. (2.28)

{An dy - Вц dx) (А21 dy - В21 dx)

(Л12 dy - B12 dx) (Л22 dy - B22 dx) J L 2

Учитывая, что система однородна по отношению к L/, необходимо выполнение условия

dei[Ady - В dx] = О, (2.29)

чтобы получить нетривиальное решение. В вышеприведенном примере условие (2.29) принимает форму

- ВМ + {ВпВ22 - В2М = 0. (2.30)

Уравнение (2.30) имеет два решения и характер решений зависит от дискриминанта

DIS = {АиВ22 - Л21В12 + A22BU - Л 12621)2 -

- 4 (Л11Л22-Л21Л12)(ВпВ22- 621612), (2.31)

от которого зависит также и классификация системы уравнений (2.22), (2.23). Различные возможности указываются в табл. 2.1.

>

Ha,aльныe условия

Рис. 2.3. Схематическое представление вычислительной области для задачи

о распространении.

На характеристиках производные ди/дх, ди/дуу dv/dx и dv/ду определяются неоднозначно. По существу при пересечении характеристик могут возникать разрывы нормальных производных, тогда как тангенциальные производные при этом непрерывны.