Таблица 8.1. Параметры, используемые в программе TWDIF

Программа TWDIF используется для сравнения работы конечно-разностных схем Кранка - Николсона, двухслойной чисто неявной (ДСЧН) и трехслойной чисто неявной (ТСЧН) с работой конечно-элементной схемы Кранка - Николсона. Результаты сравнения суммируются в табл. 8.2. При использовании трехслойной чисто неявной схемы (ТСЧН) расчет первого шага проводится по схеме Кранка - Николсона. Кроме того, в табл. 8.2 приводятся данные о среднеквадратичных ошибках, полученных при применении модифицированной схемы Кранка- Николсона со значением 6=1/12 в формуле (8.44).

Конечно-разностные схемы Кранка - Николсона и ТСЧН обладают сравнимой точностью, особенно на мелкой сетке. Этого следовало ожидать, так как обе схемы имеют ошибки аппроксимации второго порядка. Очень точное решение по схеме

Таблица 8.2. Среднеквадратичные ошибки в случае граничных условий Дирихле при / = 24 ООО, а = 1 X Ю и Sjc = s, = 1.00

ТСЧН, полученное на грубой сетке, рассматривается как аномалия. Двухслойная чисто неявная схема (ДСЧН) значительно менее точна, и это соответствует свойственной ей ошибке аппроксимации порядка О [At, Ajc, Af/). Конечно-элементная схема Кранка - Николсона обладает ошибкой аппроксимации второго порядка и обнаруживает точность, сравнимую с точностью конечно-разностной схемы Кранка - Николсона. Однако схема Кранка - Николсона со значением 6=1/12 в формуле (8.44) приводит к значительно более точным решениям как на грубой, так и на мелкой сетках. Этого следовало ожидать, так как данная схема имеет ошибку аппроксимации порядка 0(Д/2, ЛJC Дг/4).

Схемы, перечисленные в табл. 8.2, классифицируются как девятиточечные. Однако расчет по подпрограмме REDIF для конечно-разностных схем будет более эффективным, если считать, что каждый из операторов Мх и My содержит лишь по одному элементу, отличному от нуля. Следовательно, в подпрограмме REDIF ненулевые вклады в массивы DMX и DMY могут быть сгруппированы в трехкомпонентные векторы.

Несмотря на то что конечно-элементная схема является формально девятиточечной, симметрия массовых операторов (8.44), а также тот факт, что расчет по формуле (8.46) необходима проводить только при прогонках в направлении х, позволяют воспользоваться описываемой ниже экономичной процедурой. Сначала формула (8.46) переписывается в виде

RHS = {L..rMYT/ + М.гЬУТг},

(8.49)

И где, кроме того, т = т - k + 2, V = I - j -\- 2. MYT и LYT - трехмерные массивы, связанные с узловыми точками У- 1, у и / + 1, когда выражение для RHS центрируется в узле (/, k). Структура формулы (8.49) следует из того, что в формуле (8.46) прежде всего рассчитываются все члены с операторами по у.

Однако расчет массивов MYT и LYT по формулам (8.50) и (8.51) остается одним и тем же, будет ли галёркинский узел расположен в точке /- I, / или в точке j-\- 1. Следовательно, для большей эффективности целесообразно рассчитать только MYTs по формуле (8.50) и только LYT3 по формуле (8.51). Значения MYT2 и MYTi, нужные для подстановки в (8.49), будут получены путем сдвига значений MYT3 и MYT2, взятых из расчета на предыдущем галёркинском узле, т. е. путем введения /-1 вместо /. Аналогичным образом определяются LYT2 и LYTi.

Вышеописанные приемы были использованы в работе [Fletcher, Srinivas, 1984] при решении задачи о течении несжимаемой вязкой жидкости вдоль обращенной назад ступеньки при использовании переменных функция тока - вихрь, применение которых обсуждается в п. 17.3.3.

§ 8.4. Граничные условия Неймана

В § 8.2 и 8.3 предлагается описание и реализация схем с расщеплением при граничных условиях Дирихле. Варианты реализации граничных условий Неймана для одномерного уравнения диффузии, соответствующие первому или второму порядку точности, рассмотрены в п. 7.3.1.

Здесь будут описаны процедуры для надлежащего сочетания граничных условий Неймана со схемами расщепления, рассмотренными в § 8.2 и 8.3. Характерная задача о многокомпонентной диффузии включает задание смешанных граничных условий Дирихле-Неймана. Чтобы дать конкретный пример, сохраним в прежнем виде первое и третье граничные условия из (8.2), заменив, однако, второе и четвертое условия на

k + i

MYTr=() X упПпг, (8.50)

m=fe-l

k+l k+i

LYTr=(-) Wn.m + (-j+5r) Y MymATI ,n{8.5l)