следующие:

(Uy.t) = g{y,t) и {x,Ut) = h{x,t), (8.52) где g(y, t) и h(x, t)- известные функции.

8.4.1. Конечно-разностная реализация

Различные схемы, рассмотренные в § 8.2 и 8.3, имеют второй порядок точности по пространству. Граничные условия Неймана (8.52), реализуемые со вторым порядком точности имеют вид

211 -Skit), l~J--=h,{t). (8.53)

Граничные условия (8.53) будут реализовываться в сочетании с применением обобщенной двухслойной схемы (п. 8.2.2).

Для точек, расположенных на границах Л = 1 и у= 1, расчет правой части соотношения (8.23) может быть произведен после того, как при помощи формул (8.53) будут введены добавочные точки со значениями Гу-ы, k и Г/, k+u лежащие вне пределов вычислительной области как таковой. Однако операторы в левых частях соотношений (8.23) и (8.24) требуют построения поправок AT*+ik и АГ/,+ь Это можно сделать с помощью применения формул (8.53) на последовательности интервалов по времени, т. е.

ATftl k = АГГ/.k + 2AxAgt\ (8.54а)

ё-ёТ-ёЪ (8.54Ь)

= ДПЛ-1 + 2 (8.54с)

Далее, чтобы провести расщепление двумерных операторов на неявные одномерные, требуется с помощью формул (8.54) модифицировать соответствующие компоненты операторов Lxx и Lyy. Так, при / = NX замена по формуле (8.54а) приводит к следующему соотношению, заменяющему на первом этапе соотношение (8.23):

(1 - ар MLx) ATI k = At {axLxx + ayLyy) Tl, -

где Lxx = {2, --2, 0}/Ax. Однако на втором этапе соотношение (8.24) используется без модификации. При Л = NY соотноше-

ние (8.23) используется на первом этапе в своем первоначальном виде. Однако на втором этапе (8.24) заменяется соотношением

(1 - а,р MVy) ATtk = AT], , - (1 - а,р AtLyy,) 2 Ay Aht\ (8.56)

где L,s{0, ~2, 2}7Д/.

Описанные выше процедуры были применены к расчету примера, рассмотренного в п. 8.3.2 при граничных условиях дТ1дх{\, у, 0 = 0 и дТ/ду{х, 1, 0=80, заменяющих соответствующие граничные условия Дирихле. Однако при таком специальном выборе граничных условий g и Л в формулах (8.52) представляют собой константы, так что правые части соотношений (8.55) и (8.56) совпадают с правыми частями соотношений (8.23) и (8.24). Точное решение для рассматриваемого случая соответствует выражению (8.42). Решения были получены при помощи схем, указанных в п. 8.3.2; среднеквадратичные ошибки приводятся в табл. 8.3.

Таблица 8.3. Среднеквадратичные ошибки в случае граничных условий Дирихле/Неймана при t = 24 ООО, а = I X Ю 5 = % = 1.00

Наблюдаемые тенденции аналогичны тем, которые относились к граничным условиям Дирихле (табл. 8.2), если не считать того, что при использовании всех методов уровень среднеквадратичных ошибок оказывается больше того, когда должны удовлетворяться граничные условия Неймана. Типичное распределение ошибок показано на рис. 8.7. Видно, что наибольшие ошибки возникают на границах, где применяются граничные условия Неймана, или вблизи таких границ. Аналогичный эффект наблюдался в случае одномерного уравнения диффузии (табл. 7.9), а также при решении задачи Штурма -Лиувилля (§ 5.4). В тех случаях, когда все граничные условия относятся к типу Дирихле, наибольшие ошибки возникают внутри области в точках, наиболее удаленных от границ.

T 100.000 88.775 78.650 70.614 65.455 63.677

T 84.000 73.351 63.742 56.109 51.193 49.455

T= 68.000 58.954 50.790 44.300 40.109 38.614

T 52.000 45.433 39.505 34.790 31.742 30.650

T 36.000 32.549 29.433 26.954 25.351 24.775

Та 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Еа .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО

Еа .ООО .026 .047 .057 .047 .ООО

Еа .ООО .035 .063 .074 .057 .ООО

Еа .ООО .031 .054 .063 .047 .ООО

Е ООО .017 .031 .035 .026 .ООО

Еа .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО TIME а ЛбООЕЮ5 RHST .4710D-01

Рис. 8.7. Распределение ошибок с граничными условиями Дирихле и Неймана.

условия со вторым порядком точности ограничивало суммарную точность даже при использовании схемы повышенного порядка для внутренних точек.

8.4.2 Конечно-элементная реализация

При наличии определяющих уравнений, подобных уравнению (8.1) и содержащих вторые производные, реализация граничных условий Неймана оказывает существенное влияние на процесс дискретизации. В п. 5.4.1 это было проиллюстрировано на примере решения одномерной задачи Штурма - Лиувилля.

Применение метода Галёркина с конечными элементами к уравнению (8.1) приводит к нижеследующему интегральному соотношению с весовыми функциями (§ 5.1):

5 5 -f. rfx rfy = а 5 5 (а, + а, ) dx dy. (8.57)

В отличие от рассмотрения, проведенного в § 5.1, в соотношение (8.57) не вводилось пргближенное решение для Т. Функция фт Представляет здесь собой весовую функцию, связанную с

Интересная особенность результатов, приводимых в табл. 8.3, относится к высокой точности данных, связанных со схемой четвертого порядка для внутренних точек, когда в формуле (8.44) имеем 6=1/12. Нелишне напомнить, что в случае одномерного уравнения диффузии введение граничного

UNSTEADY HEAT CONDUCTION WITH NX,NY =6 6

HE = 2 GAK = .00 BETA = .50 SX,SY = 1.000 1.000

APPROX. FACT., LINEAR FEK, EHX= .167E+00 .667E+00 .167E+00

DIRICHLET B.C.

©TIN a .400E+04 PRINT INT. .160E+05 TMAX = .161E+05