www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

галёркинским узлом. В связи с реализацией граничных условий Неймана представляют интерес два случая. Первый из них относится к узлу т, расположенному на границе х = I (рис. 8.1); второй случай, когда узел т расположен на границе у = I. Мы будем предполагать, что фт представляет собой билинейную интерполяционную функцию (§ 5.3), хотя данный подход справедлив по отношению к интерполяции любого порядка. Вследствие локального характера функции фт{х, у) в окончательную оценку членов уравнения (8.57) ненулевые вклады вносятся только двумя элементами. Два случая, представляющие интерес, демонстрируются на рис. 8.8.

Аг>й (галёркинский) узел

Элемент О

Элемент С

(а) И

Jit \J

/77-й (галёркинский) узел

L R

в ,

Элемент С Элемент D

Рис. 8.8. Реализация метода Галёркина с конечными элементами у границ., (а) Граница х= 1; (Ь) граница у = L

В правой части уравнения (8.57) можно провести интегрирование по частям. Иначе говоря, будем иметь

\\КУ= \ [Ф.ЩУу-\\%.у. (8.58)

\\ф..Ыy=\[K%i-\\<У (8.59>

Если говорить о границе х= 1, то лишь вычисление линейных интегралов в (8.58) и (8.59) дает ненулевой вклад в каждый элемент на границе /?. Весовая функция фт равна нулю на границах В и L элемента С, а также на границах L и Т элемента D. Вклад в линейный интеграл от границы В элемента D тождественно погашает вклад от границы Т элемента С.

Для функций Г, фигурирующих в интегралах по площади, вводятся общепринятые приближенные выражения

Т=Ф1(х,У)Т1. (8.60)



На основании (8.52) имеем дТ/дх\х=1 = git)- Одномерная интерполяция функции g(t) вводится по формуле

g{t)=Z<t>,iy)g,{ty (8.61)

В случае интерполяции пр Лагранжу ф(х, у)= ф{х) ф{у). Вычисление различных интегралов в соотношениях (8.57) - (8.59), выполненное на однородной сетке, после деления на АхАу дает

= +Л1, ® LxJi,k) + (yMx<B>LyyT k]. (8.62)

Соотношение (8.62) имеет такую же структуру, как и соотношение (8.29) для внутренних точек, если не считать добавочного члена axMygk/Ax, связанного с граничным условием Неймана.

Если учесть, что вклады дают только два элемента, то операторы Мх и Lxx принимают вид

Мх =

1 -i- О 6 3

i-.-.o}. (8.63)

Операторы My и Lyy совпадают с теми, которые определены формулами (8.30) и (8.31).

Реализация граничного условия Неймана при у = 1 проводится аналогичным путем, если не считать того, что линейные интегралы в (8.58) и (8.59) дают ненулевые вклады только на границах Т элементов С и D (рис. 8.8(b)). Результат, эквивалентный (8.62), принимает вид

dt J/, k

axMy(LxJik + <y( + Mx®LyyTjk)

(8.64)

В соотношении (8.64) операторы Мх и Lxx задаются согласно (8.30) и (8.31), а операторы My и Lyy имеют вид

Интересно сравнить, как осуществляется реализация граничных условий Неймана при использовании методов конечных разностей и конечных элементов. Конечно-разностная форма, эквивалентная (8.29), записывается в виде

VdTi

= xLxxTf k + yLyyT

(8.66)



где операторы Lxx и Lyy соответствуют формулам (8.31). Введение условий (8.53) на границе х = 1 позволяет получить следующую локальную форму выражения (8.66):

где Lxx задается теперь согласно (8.63), а 1,, - согласно (8.31) как и прежде.

Как уже было замечено при введении понятия о массовых операторах (§ 5.5 и п. 8.3.1), эквивалентная конечно-разностная формулировка может быть построена за счет модификации массовых операторов. Таким образом, массовые операторы в соотношении (8.62) примут при этом вид

= {О, 0.5, 0}, = {О, 1, 0}. (8.68)

Окончательная форма соотношения (8.62) совпадает с (8.67). Следовательно, в случае билинейной лагранжевой интерполяции на прямоугольных конечных элементах оказывается возможным реализовать граничные условия Неймана при помощи метода Галёркина с конечными элементами путем введения набора значений в добавочных точках Г/+1, k и Г/, k+u соответствующих формулам (8.53), применяя при этом повсюду формулу для внутренних точек типа (8.29). Следует подчеркнуть, что хотя такой подход целесообразен с точки зрения эффективности программирования, его следует применять после того, как будет доказана эквивалентность.

Типичные результаты, полученные при помощи метода конечных элементов с граничными условиями Неймана дТ/дх{1, у, t) = 0 и дТ/ду{х, 1, t) = 80, приводятся в табл. 8.3. Общие тенденции подобны тем, которые имели место при граничных условиях Дирихле, за исключением того, что при наличии граничных условий Неймана ошибки, как правило, становятся больше. Та же тенденция очевидна и по отношению к методу конечных разностей.

§ 8.5. Метод дробных шагов

В применении к тем неявным методам, которые описывались в данной главе, общая стратегия состояла в том, чтобы провести дискретизацию, а затем переформулировать или модифицировать полученные алгебраические уравнения с целью построения одномерных алгоритмов, подобных (8.27), (8.28).

Стратегия, альтернативная вышеописанной, состоит в расщеплении исходного уравнения, например (8.1), на пару уравнений, каждое из которых является локально одномерным.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика