галёркинским узлом. В связи с реализацией граничных условий Неймана представляют интерес два случая. Первый из них относится к узлу т, расположенному на границе х = I (рис. 8.1); второй случай, когда узел т расположен на границе у = I. Мы будем предполагать, что фт представляет собой билинейную интерполяционную функцию (§ 5.3), хотя данный подход справедлив по отношению к интерполяции любого порядка. Вследствие локального характера функции фт{х, у) в окончательную оценку членов уравнения (8.57) ненулевые вклады вносятся только двумя элементами. Два случая, представляющие интерес, демонстрируются на рис. 8.8.

Аг>й (галёркинский) узел

Элемент О

Элемент С

(а) И

Jit \J

/77-й (галёркинский) узел

Элемент С Элемент D

Рис. 8.8. Реализация метода Галёркина с конечными элементами у границ., (а) Граница х= 1; (Ь) граница у = L

В правой части уравнения (8.57) можно провести интегрирование по частям. Иначе говоря, будем иметь

\\КУ= \ [Ф.ЩУу-\\%.у. (8.58)

\\ф..Ыy=\[K%i-\\<У (8.59>

Если говорить о границе х= 1, то лишь вычисление линейных интегралов в (8.58) и (8.59) дает ненулевой вклад в каждый элемент на границе /?. Весовая функция фт равна нулю на границах В и L элемента С, а также на границах L и Т элемента D. Вклад в линейный интеграл от границы В элемента D тождественно погашает вклад от границы Т элемента С.

Для функций Г, фигурирующих в интегралах по площади, вводятся общепринятые приближенные выражения

Т=Ф1(х,У)Т1. (8.60)

На основании (8.52) имеем дТ/дх\х=1 = git)- Одномерная интерполяция функции g(t) вводится по формуле

g{t)=Z<t>,iy)g,{ty (8.61)

В случае интерполяции пр Лагранжу ф(х, у)= ф{х) ф{у). Вычисление различных интегралов в соотношениях (8.57) - (8.59), выполненное на однородной сетке, после деления на АхАу дает

= +Л1, ® LxJi,k) + (yMx<B>LyyT k]. (8.62)

Соотношение (8.62) имеет такую же структуру, как и соотношение (8.29) для внутренних точек, если не считать добавочного члена axMygk/Ax, связанного с граничным условием Неймана.

Если учесть, что вклады дают только два элемента, то операторы Мх и Lxx принимают вид

Мх =

1 -i- О 6 3

i-.-.o}. (8.63)

Операторы My и Lyy совпадают с теми, которые определены формулами (8.30) и (8.31).

Реализация граничного условия Неймана при у = 1 проводится аналогичным путем, если не считать того, что линейные интегралы в (8.58) и (8.59) дают ненулевые вклады только на границах Т элементов С и D (рис. 8.8(b)). Результат, эквивалентный (8.62), принимает вид

dt J/, k

axMy(LxJik + <y( + Mx®LyyTjk)

(8.64)

В соотношении (8.64) операторы Мх и Lxx задаются согласно (8.30) и (8.31), а операторы My и Lyy имеют вид

Интересно сравнить, как осуществляется реализация граничных условий Неймана при использовании методов конечных разностей и конечных элементов. Конечно-разностная форма, эквивалентная (8.29), записывается в виде

VdTi

= xLxxTf k + yLyyT

(8.66)

где операторы Lxx и Lyy соответствуют формулам (8.31). Введение условий (8.53) на границе х = 1 позволяет получить следующую локальную форму выражения (8.66):

где Lxx задается теперь согласно (8.63), а 1,, - согласно (8.31) как и прежде.

Как уже было замечено при введении понятия о массовых операторах (§ 5.5 и п. 8.3.1), эквивалентная конечно-разностная формулировка может быть построена за счет модификации массовых операторов. Таким образом, массовые операторы в соотношении (8.62) примут при этом вид

= {О, 0.5, 0}, = {О, 1, 0}. (8.68)

Окончательная форма соотношения (8.62) совпадает с (8.67). Следовательно, в случае билинейной лагранжевой интерполяции на прямоугольных конечных элементах оказывается возможным реализовать граничные условия Неймана при помощи метода Галёркина с конечными элементами путем введения набора значений в добавочных точках Г/+1, k и Г/, k+u соответствующих формулам (8.53), применяя при этом повсюду формулу для внутренних точек типа (8.29). Следует подчеркнуть, что хотя такой подход целесообразен с точки зрения эффективности программирования, его следует применять после того, как будет доказана эквивалентность.

Типичные результаты, полученные при помощи метода конечных элементов с граничными условиями Неймана дТ/дх{1, у, t) = 0 и дТ/ду{х, 1, t) = 80, приводятся в табл. 8.3. Общие тенденции подобны тем, которые имели место при граничных условиях Дирихле, за исключением того, что при наличии граничных условий Неймана ошибки, как правило, становятся больше. Та же тенденция очевидна и по отношению к методу конечных разностей.

§ 8.5. Метод дробных шагов

В применении к тем неявным методам, которые описывались в данной главе, общая стратегия состояла в том, чтобы провести дискретизацию, а затем переформулировать или модифицировать полученные алгебраические уравнения с целью построения одномерных алгоритмов, подобных (8.27), (8.28).

Стратегия, альтернативная вышеописанной, состоит в расщеплении исходного уравнения, например (8.1), на пару уравнений, каждое из которых является локально одномерным.