Тогда взамен (8.1) вводятся уравнения

0-5#-s = 0, (8.69)

Эти уравнения подвергаются дискретизации и решаются по-следовательно на каждом шаге по времени. Этот класс методов был разработан советскими математиками и его подробное описание дается в книгах [Н. Н. Яненко, 1971] и [Г. И. Мар-чук, 1974]. В книге [Mitchell,. Griffiths, 1980 эти методы относятся к классу локально одномерных методов.

Явное представление уравнений (8.69) и (8.70) имеет вид

n\ = {\+ay/AtLyy)Tlk. (8.71)

Ti = (1 + а. tUx) Ttk\ (8.72)

Если а = ах = ау, то данная схема совпадает со схемой (8.8), (8.9). Алгоритм (8.71), (8.72) имеет ошибку аппроксимации порядка 0(А, Ах, Ау) и при Ал: = Ду является устойчивым, если 5 0.5.

Неявная реализация (8.69) и (8.70) по Кранку - Николсо-ну имеет вид

(1 - 0.5а, AtLyy) Ttk = (1 + 0.5а, AtLyy)Tl ь (8.73) (1 - 0.5а, MUx) Ttk = (1 + 0.5а. AtUx) Т]Х \ (8.74)

Соотношения (8.73) и (8.74) приводят к трехдиагональным системам уравнений вдоль сеточных линий, параллельных у и X соответственно; это значит, что решение может продвигаться по времени экономичным образом с использованием алгоритма Томаса. Схема (8.73), и (8.74) имеет второй порядок точности по времени и пространству при надлежащем задании граничных условий и безусловно устойчива как в двух, так и в трех измерениях.

Уравнения (8.73) и (8.74) могут быть объединены в одну составную схему за счет исключения Tv, если только операторы Lxx и Lyy являются коммутативными; иначе говоря, если одна и та же формула получается как за счет LxxLyyTjky так и за счет LyyLxxTlk, Полученная таким образом составная схема совпадает с составной схемой НПН, являющейся результатом исключения Т* из уравнений (8.12) и (8.13).

Однако принципиальное отличие данного подхода возникает при выполнении граничных условий. Если метод дробных

23 К. Флетчер, т. 1

шагов применяется к двумерной области, показанной на рис. 8.1, то условие Дирихле на границе л: = 1, Г(1, у, t)= b(y, t) принято реализовать на промежуточном временном слое в виде

r5tif6 H../2 (8.75)

И аналогичные соотношения для граничных условий на других границах. Такой путь выполнения граничных условий фактически приводит к снижению точности схемы в целом до первого порядка по времени.

В работе [Dwoyer, Thames, 1981] исследуется проблема корректной реализации граничных условий в применении к двумерному уравнению переноса (§ 9.5). Как показано в книге [Mitchell, Griffiths, 1980], корректное граничное условие при л= 1, если используются уравнения (8.71) и (8.72), имеет вид

ni!i = {l+ayMLyy)bl (8.76)

Это наводит на мысль о том, что при использовании схемы (8.73), (8.74) подходящая форма промежуточных граничных условий Дирихле при х = 1 может быть получена, если решить уравнение

(1 ~ 0.5а MLyy) ЩЛ = (1 + 0.5а, MLyy) bl (8.77)

Можно отметить, что метод дробных шагов не позволяет построить экономичный алгоритм путем введения поправок ATky как можно было сделать с приближенной факторизацией (п. 8.2.2 и дальнейший текст). Кроме того, метод дробных шагов не дает возможности непосредственного вычисления невязки по отношению к стационарному состоянию (см. формулу (8.25)), что играет важную роль при решении стационарных задач с помощью псевдонестационарной формулировки (§ 6.4).

§ 8.6. Заключение

Для многомерных параболических дифференциальных уравнений в частных производных, например для уравнения диффузии, неявные схемы являются более эффективными, чем явные, в первую очередь благодаря присущему им более устойчивому поведению. Кроме того, неявная формулировка обеспечивает большую гибкость при построении схем повышенного порядка [Mitchell, Griffiths, 1980].

Желая сохранить экономичность, свойственную алгоритму Томаса, при переходе к многомерной неявной формулировке, необходимо ввести ту или иную форму расщепления по на-

правлениям. Рекомендуемое построение сводится к тому, чтобы представить уравнения в форме линейной системы по отно-шению к поправке AiT/.v и ввести приближенную факторизацию, например (8.22), чтобы иметь возможность воспользоваться многоэтапным алгоритмом, каждый из этапов которого требует решения трехдиагональной системы уравнений.

Приближенная факторизация эффективна при применении как конечно-разностного, так и конечно-элементного методов. Появление массовых операторов по направлениям в конечно-элементном алгоритме приближенной факторизации (8.39), (8.40) дает возможность построения схемы, более точной по пространству, путем выбора 6=1/2 в формуле (8.44). Повышенная точность достигается как с граничными условиями Дирихле (§ 8.3), так и с граничными условиями Неймана (§ 8.4).

Однако для сохранения точности второго порядка по времени необходимо уделить особое внимание реализации граничных условий для промежуточной поправки к решению 1ST*. появляющейся в процессе приближенной факторизации. Несмотря на то что методика реализации граничных условий Неймана имеет концептуальные различия в зависимости от того, применяется ли метод конечных разностей или метод конечных элементов, форма соответствующих уравнений после дискретизации нередко оказывается структурно-эквивалентной.

Приемы расщепления (или приближенной факторизации), разработанные в данной главе, после небольшой модификации могут быт применены к двумерному уравнению переноса (§9.5), двумерным уравнениям Бюргерса (§ 10.4), а также к уравнениям, определяющим различные классы течения жидкости, особенно в тех случаях, когда необходимо решать уравнения Навье -Стокса (см., например, п. 17.2.1 и 17.3.3, § 18.3 и § 18.4).

§ 8.7. Задачи

Двумерное уравнение диффузии (§ 8.1)

8.1. Примените анализ устойчивости по Нейману к схеме (8.7) и покажите, что эта схема устойчива, если О << s 0.5

8.2. Для случая Ах = Ау определите ошибку аппроксимации для схемы (8.7), если S = 1/6.

8.3. Модифицируйте программу TWDIF так, чтобы она была применима к схеме (8.7) и проверьте путем расчетов теоретические результаты, соответствующие задачам 8.1 и 8.2.

Методы расщепления для многомерных задач (§ 8.2)

8.4. Примените анализ устойчивости по Нейману к трехмерным эквивалентам схемы НПН (8.14), (8.15) и схемы приближенной факторизации (8.23), (8.24). Покажите, что трехмерная схема НПН является условно устойчивой, а схема приближенной факторизации - безусловно устойчивой