8.5. Модифицируйте программу TWDIF так, чтобы она была применима к схеме НПН (8.14), (8.15) и сравните точность и экономичность этой схемы с аналогичными качествами схемы приближенной факторизации для МЕ = 1, Y = О, р = 0.5.

8.6. Повторите сравнение, показанное в табл. 8.2, для случаев Sx = Sy = = 0.5. и 1.5, объясните полученные результаты. Для варианта Sx == Sy = 0.5 сравните результаты с данными для схемы, рассмотренной в задаче 8.3.

Схемы расщепления и метод конечных элементов (§ 8.3)

8.7. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.5, так, чтобы применить ее к конечно-элементному варианту схемы НПН (8.35), (8.36), и сравните точность результатов с точностью решений, отраженных в табл. 8.2.

8.8. Покажите, что схема (8.43), (8.44) при у = О, р = 0.5 эквивалентна схеме

[l - (0.5а - 6 Аа:2) L] Г* = [l + (0.5а + 6 Ау) Lyy] Т]

[1 - (0.5а А/ - 6 Ai/2) Lyy] Tk = [l + (0.5a А/ + б Ax) L] Г*

Для специального случая б = 1/12 эта схема совпадает со схемой, имеющей четвертый порядок по пространству и предложенной в работе [Mitchell, Fairweather, 1964].

8.9. В программе TWDIF замените соотношение (8.48) за счет вычисления значения AIj, формулам (8.41) при tn+\/. Сравните точность решения с результатами, приведенными в табл. 8.2.

Граничные условия Неймана (§ 8.4)

8.10. Модифицируйте программу TWDIF так, чтобы отразить реализацию граничных условий Неймана в соответствии с данными, приведенными в табл. 8.3. С помощью методов, указанных в табл. 8.3, получите решения для случаев Sx = Sy = у{ 1.5.

8.11. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.3, так, чтобы получить решение с граничными условиями Неймана, сравнимое со случаем, рассмотренным в табл. 8.3, но при Sx = Sy = 0.5.

8.12. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.5 для схемы НПН, так, чтобы получить решение для контрольного случая, на основе которого составлена табл. 8.3. Сравните точность этого решения с точностью, приведенной в табл. 8.3.

Метод дробных шагов (§ 8.5)

8.13. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.5, так, чтобы применить ее к схеме (8.73), (8.74), и проверьте работу программы для данных, по которым составлена табл. 8.2.

8.14. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.12, так, чтобы получить решение с условием Дирихле на границе л: = 1, используя соотношение (8.77), и сравнить точность этого решения с точностью метода дробных шагов.

Глава 9

Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции

Для большинства задач обтекания движение жидкости является важным фактором, определяющим общий характер потока. В уравнениях гидродинамики (гл. 11) движение жидкости характеризуется составляющими скорости и, у, w по направлению декартовых координат л:, у, г. В одномерном уравнении импульсов по направлению оси х

( ди . ди\ . др ди . ч

составляющая скорости и входит в инерционный член {du/dt + иди/дх), а также в член, характеризующий вязкую диффузию [хди/дх. Другими искомыми величинами являются плотность р, давление р и вязкость ы.

Ранее при рассмотрении уравнения диффузии мы изучали поведение таких членов, как ди/дх. Теперь мы рассмотрим конвективные члены типа иди/дх и обсудим, как с ними лучше всего обращаться с вычислительной точки зрения.

Конвективный член обладает двумя не зависящими друг от друга особенностями, которые необходимо принять во внимание. Во-первых, этот член содержит первые производные по пространственной переменной. При использовании для аппроксимации члена ди/дх симметричной трехточечной формулы в решении возникают колебания нефизического характера, если вязкий член оказывается малым в сравнении с конвективным. Такое поведение связывают с воздействиями дисперсионного типа (§ 9.2), проявляющимися через ошибку аппроксимации. В применении к установившемуся течению мы исследуем это явление в § 9.3.

Если при моделировании ди/дх используется несимметричная алгебраическая формула, то, несмотря на нередко достигаемое улучшение гладкости получаемого решения, точность аппроксимации ди/дх обычно оказывается на один порядок ниже по сравнению с соответствующим представлением с помощью симметричной алгебраической формулы, охватывающей то же самое число узловых точек. При использовании

дТ дх

где и - известная скорость, а f - пассивная скалярная величина, например температура. Уравнение (9.2) гиперболическое. Его можно интерпретировать как некую модель для конвективной части уравнения энергии (11.44).

Если величина и постоянна и положительна, то общее решение уравнения (9.2) можно записать в виде

Т(х, t) = F{xutl (9.3)

где начальное условие задается выражением

Т{х, 0) = F{x), (9.4)

причем функция F{x) известна. Если эта функция определена во всем диапазоне изменения х, -оо л: оо, то решение в некоторой заданной точке {хи ti) плоскости (х, t) совпадает с решением для точки с координатой Xi - uU в момент времени = О, т. е.

Т(хи t,) = F{x,-ut,) = f(x,-utu 0).

несимметричных формул низкого порядка в ошибку аппроксимации могут быть привнесены такие слагаемые, которые по своей величине будут сравнимы с величиной важных физических членов, учитываемых здесь.

Этот аспект решения будет принят во внимание в § 9.2 при рассмотрении уравнения, описывающего чисто конвективный процесс, в § 9.3 для уравнения стационарной конвекции - диффузии, а в § 9.4 для уравнения переноса. Уравнение переноса получается из уравнения (9.1) путем линеаризации конвективного члена (т. е. путем замены иди/дх на гди/дх), пренебрежения членом с градиентом давления др/дх и предположения о том, что величины е и р известны.

Второй важной особенностью конвективного члена является его нелинейность по отношению к искомой переменной. В случае сверхзвукового невязкого потока (п. 11.6.1) нелинейный характер конвективных членов приводит к тому, что становится возможным появление ударных волн. Этот нелинейный характер конвективных членов мы будем обсуждать главным образом в связи с уравнением Бюргерса в гл. 10.

§ 9.1. Одномерное линейное уравнение конвекции

Для исследования задач, связанных с конвекцией, рассмотрим следующее линейное уравнение:

r+4L = o, (9.2)