Это показано графически на рис. 9.1. Решение Т оказывается постоянным вдоль таких линий, как линия АВ, служащая характеристикой для этого уравнения (рис. 2.5).

9,LL Схема с разностями вперед по времени , и центральными по пространству (ВВЦП)

Простейший алгоритм для решения уравнения диффузии связан с использованием схемы ВВЦП согласно уравнению 7.5). Соответствующее представление уравнения (9.2) с ис-

A(x-Ut,0) X Рис. 9.1. Зависимость решения от начальных данных.

пользованием разностей вперед по времени и центральных по пространству будет иметь вид

2 Ах

(9.5)

Разностное уравнение (9.5) может быть представлено в форме алгоритма

0.5С (rfi Tl i), (9.6)

аппроксимирующего уравнение (9.2) с ошибкей порядка О {At, Лх2). Величина С, входящая в формулу (9.6), называется числом Куранта и определяется выражением

С = и

(9.7)

Если применить к алгоритму (9.6) анализ устойчивости по Нейману, то для т-й компоненты начального распределения ошибки получится коэффициент усиления в виде

G=l /С sin е. (9.8)

Ясно, что G1 при любых Э, так что алгоритм (9.6) является безусловно неустойчивым. Можно вспомнить, что

Таблица 9.1. Алгебраические схемы (дискретизация)

Схема

Алгебраическая форма

Ошибка аппроксимации Е * (главные члены)

ВВЦП

+ ()(1+2С2)

Вверх по потоку

At Ах

Г Ах\ , дЧ ,

+ (){1-ЗС + 2С2)

Чехарда

тП+\ т -1

i/ Zl£ H

.(if),.-с,

Лакса - Вендроффа

- 0.5 С xLJl

+ С (-)(1-С2)

Кранка - Николсона

Х1 2

/ x\ , - 24

для уравнений конвекции dTJdt + u дТ/дхО

Коэффициент затухания G (0=тя Ах)

Условие устойчивости

Замечания

1 - /С Sin е

Неустойчивая

2 Ах

At Ах

{-1, О, 1}

1 - С (1 - cos 6) - /С - sin е

С< 1

-ic sine± (1 -С2 sin2 6)/2

С< 1

1 - /с sin е - 2С2 sin2

С< 1

2 1

Ах Ах

(1 - 0.5/С sin е)/(1 + 0.5/С sin 9)