Схема

Алгебраическая форма

Ошибка аппроксимации Е * (главные члены)

Трехслойная,

полностью неявная

3 АТ

2 М 2 М

(-)(1+2С2)

Линейная КЭ/Кран-ка - Ник ОЛ-сон а

как в методе

Ошибка аппроксимации Е выражена через Лл; и производные по х, эквивалентно уравнению dTldt + и дТ/дх + Е {Т)=0,

эквивалентная схема ВВЦП была условно устойчивой в применении к уравнению диффузии. Благодаря отсутствию устойчивости следует сделать вывод, что схема ВВЦП практически неприменима к решению задач о чистой конвекции. Для полноты информации свойства схемы ВВЦП в применении к уравнению (9.2) суммируются в табл. 9.1.

9.1.2. Схема с разностями против потока и условие КФЛ

Альтернативная схема может быть получена при введении разностной формулы для дТ/дх со сдвигом назад в предположении, что величина и положительна. Тогда дискретизация уравнения (9.2) принимает вид

ИЛИ в алгоритмическом представлении

(9.9)

(9.10)

Таблица 9.1 (продолжение)

Коэффициент затухания О (0=тя Ajc)

Условия устойчивости

Замечания

1 ± -/(3 + /8С sin 9)/2 2(1 + /- sin 9)

(2+ C0S9--1.5/С sin 9) (2 + COS9+ 1.5/С sin 9)

6 3 6 j

модифицированных уравнений (п. 9.2.2). Таким образом, алгебраическое представление

В случае отрицательного и вместо (9.10) применяется формула ГГ = (1-С)Г/-f СГ/\1. Согласно формуле (9.10), решение Т] определяется информацией из области, расположенной вверх по потоку от узла (/, п). Следовательно, схема (9.10) будет упоминаться в дальнейшем как схема с разностями против потока (табл. 9.1). Численные решения, полученные на основе разностной схемы против потока, будут изложены в п. 9.1.5.

Если применить к схеме (9.10) анализ устойчивости по Нейману, то получится коэффициент усиления, показанный в табл. 9.1. Решения получаются устойчивыми, если

Неравенство С 1 называют обычно условием Куранта - Фридрихса -Леей (КФЛ). Вообще говоря, это условие применимо ко всем явным схемам для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. С физической точки зрения условие КФЛ означает, что частица

dt - дх dt ~ дх и, следовательно, уравнение (9.12) можно переписать в виде

Ж+ 1г -0.5uAx{l-C) + O(Afi, Дх2) = 0.

Если считать, что ошибка аппроксимации при использовании формулы (9.10) имеет порядок 0(A, Ajc), то вместо уравнения (9.2) эта формула будет соответствовать уравнению

дТ , дТ , дЧ .г..

+ -- - = 0. (9.13)

Это значит, что использование двухчленного конечно-разностного представления дТ/дх со сдвигом вверх по потоку в сочетании с разностной формулой для dT/dt при сдвиге по времени вперед вносит искусственную (численную) диффузию с коэффициентом а= 0.5wAx(l - С). Ясно, что коэффициент искусственной диффузии обращается в нуль, когда С= 1; это и не удивительно, поскольку формула (9.10) в таком варианте соответствует точному решению.

Может показаться, что выбор At, дающего С= 1, позволит обойти проблему искусственной диффузии. Хотя это и действительно так в применении к линейному уравнению конвекции, однако при рассмотрении нелинейных уравнений, подобных уравнению Бюргерса (§ 10.1), когда скорость и (входящая в выражение для С) изменяется в пространстве, невозможно обеспечить равенство С = 1 во всех точках.

жидкости за один шаг по времени А/ не должна продвигаться более чем на один пространственный шаг Ал:.

В частном случае при С=1 формула (9.10) дает Гу = rf i, что является точным решением уравнения (9.2); это иллюстрируется на рис. 9.1.

Разложение точного решения в ряд Тейлора в окрестности узла (/, ai), подставленное в формулу (9.10), дает результат

- + If + 5 - 0-5 + 0 {t\ Ах2) = 0. (9.12)-

Следовательно, формула (9.10) не противоречит уравнению (9.2), но содержит в себе ошибку аппроксимации, главные члены которой имеют порядок О (А/, Ах). Из уравнения (9.2) получаем

дТ дТ дЧ 2