www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

9.1.3, Схема чехарда и схема Лакса - Вендроффа

Применяя подход, использовавшийся ранее к уравнению диффузии, попытаемся построить более точную модель уравнения (9.2) с помощью введения центральных разностей как по времени, так и по пространству. Это приводит к схеме чехарда :

2а/ + ja. -О (9.14)

и соответствующему ей алгоритму

Формула (9.15) соответствует уравнению (9.2) с ошибкой аппроксимации, имеющей порядок 0(Д/2, Дл:). Применение к (9.15) анализа устойчивости по Нейману дает коэффициент усиления G, представленный в табл. 9.1. Как можно видеть, G = 1.0, если С 1, однако при некоторых значениях 6 получим G > 1.0, если С > 1. Следовательно, если удовлетворяется условие КФЛ, схема чехарда будет нейтрально устойчивой. Это и желательно, так как в этом случае решение не затухает с течением времени; отметим, что на то же самое указывает и физический характер процесса конвекции согласно (9.2).

Как нетрудно видеть, решение обеспечиваемое фор-

мулой (9.15), как бы перепрыгивает через решение Г ; отсюда и название -схема чехарда . Однако структура формулы (9.15) указывает на то, что вычислительная сетка уподобляется здесь шахматной доске; решение, строящееся для черных полей , оказывается совершенно независимым от решения для белых полей . Это обстоятельство может приводить к появлению двух расщепившихся решений. Роуч [Roache, 1972] обсуждает различные варианты стратегии для преодоления данного затруднения, одним из которых является осреднение решения по двум временным слоям, а именно п и n-f 1.

Халтнер и Уилльямс [Haltiner, Williams, 1980] провели анализ применения схемы чехарда (9.15) к задаче с гармоническим начальным условием, т. е. когда функция в правой части формулы (9.4) принимает форму f (х)= ехр(г/тДл:), где т - волновое число (§ 9.2). Они получили для (9.15) аналитическое решение, состоящее из двух волн или двух мод, происхождение которых связано с тем, что формула (9.15) коррелирует между собой три временных слоя. Одна из этих мод соответствует физическому решению, а вторая - это паразитная вычислительная мода, распространяющаяся в направлении.



противоположном моде физического решения, причем величина этой моды меняет свой знак на каждом шаге по времени.

В случае линейного уравнения конвекции вычислительную моду решения можно подавить за счет выдлежащего выбора добавочного слоя начальных данных, т. е. задавая не только Т , но и Т-\ Однако в применении к нелинейным задачам вычислительная мода, присущая решению по схеме чехарда , может неограниченно развиваться и ухудшить перспективу разделения решения на соседних временных слоях, о которой упоминалось ранее. Стратегии такого типа, как осреднение, существенно подавляют вычислительную моду, не оказывая заметного воздействия на физическую моду.

Схема чехарда является трехслойной, и поэтому при ее применении требуется некий альтернативный подход для реализации первого шага по времени. Эту схему рекомендуется применять [Morton, 1971] для решения гиперболических задач, например задач, описываемых уравнением конвекции (9.2); заметим, что эквивалетная схема Ричардсона для уравнения диффузии является неустойчивой.

Схема Лакса - Вендроффа представляет собой весьма эффективный (и популярный) алгоритм для решения уравнений, описывающих течение невязкой сжимаемой жидкости (§ 10.2 и п. 11.6.1). В применении к уравнению конвекции (9.2) схема Лакса - Вендроффа совпадает с методом Лейза [Leith] (см. [Roache, 1972]). Оба метода основаны на построении приближения второго порядка для члена с помощью разложения в ряд Тейлора, в результате которого получается представление

После введения представления для дТ/дх с применением центральных разностей мы приходим к конечно-разностной модели для уравнения (9.2) по Лаксу - Вендроффу в форме тп Q 5 j,n Q + rf+i). (9.16)

Схема Лакса - Вендроффа согласуется с уравнением (9.2) при ошибке аппроксимации порядка 0(Л2, Ах) и является устойчивой, если удовлетворяется условие КФЛ С 1.0 (табл. 9.1). Численные решения с использованием схемы Лакса - Вендроффа приводятся в п. 9.1.5.

9.1.4. Схемы Кранка -Николсона

Схема Кранка - Николсона оказывается весьма эффективной в применении к одномерному уравнению диффузии. В данном разделе конечно-разностные и конечно-элементные схемы



Idt if

в которую входит массовый оператор Л! = {-,-f, }. Введение разностного представления dT/dt по Кранку - Николсону приводит к схеме

Мх + uLx [0.5 {Tf + Т-г)] - О, (9.20)

которую можно сравнить со схемой (9.17). Массовый оператор можно представить в более общем виде, аналогичном формуле (8.44), а именно

Л1,{б, 1-26, 6}, (9.21)

где значение 6=1/6 дает конечно-элементную форму, а значение 6 = 0 - конечно-разностную форму. После подстановки (9.21) в уравнение (9.20) получается трехдиагональный алгоритм

(6 ~ 0.25С) да -f (1 - 26) -f (6 -Ь 0.25С) Tjtl =

= (6 -f 0.25С)I -f (1 - 26) Ti -f (б - 0.25C) (9.22)

Реализацию этого алгоритма дает программа TRAN (рис. 9.8).

Конечно-элементная форма (9.20) обладает ошибкой аппроксимации порядка 0(А2, Ах). Следовательно, при достаточно

Кранка - Николсона применяются к одномерному уравнению конвекции (9.2).

Конечно-разностная схема Кранка - Николсона может быть записана в виде

7 + (0.5L.r + О.ЬитГ) = О, (9.17)

где LxTj={Tj+i - Ti-i)/2Ax. Из уравнения (9.17) получается следующий трехдиагональный алгоритм:

-0.25С7 + + 7 + + 0.25СГ +/ = 0.25СГ -1 + Т - 0.2507 +

(9.18)

для которого можно построить эффективное решение с помощью алгоритма Томаса (п. 6.2.2). Схема Кранка - Николсона согласуется с уравнением (9.2) и обладает погрешностью порядка 0(А2, Дл:2). Анализ устойчивости по Нейману дает коэффициент усиления G, показанный в табл. 9.1. Ясно, что схема Кранка - Николсона является безусловно устойчивой.

Если к уравнению (9.2) применить метод конечных элементов Галёркина с нелинейной интерполяцией по пространству, то получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

].-f а1,Г; = 0, (9.19)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика