Таблица 2.1. Классификация уравнений (2.22), (2.23)

В качестве использования вышеприведенной классификации можно привести следующий пример. Определяющие уравнения для двумерного потенциального течения сжимаемой жидкости (уравнения (11.103)) могут быть переформулированы за счет введения составляющих скорости, что дает

а также

ди . dv

ду дх

(2.33)

Уравнения (2.32) и (2.33) имеют такую же структуру, как (2.22) и (2.23). Конкретизация выражения в правой части (2.31) дает

DIS = 4(M2-1), где М2 = (2 + у2)/а2,

и свидетельствует о том, что система (2.32) и (2.33) является гиперболической, если М > 1. Этот результат совпадает с тем который мы получили при рассмотрении уравнения для потенциала течения сжимаемой жидкости (2.4). Именно этого и следовало ожидать, так как, несмотря на то что уравнения по форме различаются, они определяют одну и ту же физическую ситуацию.

Построение, применявшееся для вывода уравнений (2.28) и (2.29), может быть обобщено применительно к системе из п уравнений первого порядка [Whitham, 1974]. Уравнение (2.28) заменяется уравнением

А(4Г-В

dx )

(2.34)

Свойства системы [Hellwig, 1964] зависят от решения уравнения (2.29) следующим образом:

1. Если получено п вещественных корней, то система является гиперболической.

2. Если имеется v вещественных корней, причем 1 v - 1, а комплексные корни отсутствуют, то система является параболической.

3. Если не получено ни одного вещественного корня, то система является эллиптической.

Для больших систем некоторые корни могут быть комплексными, а некоторые - вещественными; в таком случае система является смешанной. Наиболее важно устанавливать различие между эллиптическими и неэллиптическими системами дифференциальных уравнений в частных производных, так как эллиптичность не допускает времениподобного поведения решения. Поэтому система уравнений будет считаться эллиптической, если только появляются комплексные корни.

Данная выше классификация распространяется и на системы уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, так как путем введения вспомогательных переменных можно получить систему большего числа уравнений первого порядка. Существует, однако, риск, что обе матрицы А и В окажутся особыми, так что во избежание поведения с вырождением понадобится рассмотреть некоторые комбинации данных уравнений [Whitham, 1974].

Применительно к системам, где число независимых переменных превышает два, уравнение (2.29) может быть частично обобщено следующим образом. Систему уравнений первого порядка с тремя независимыми переменными можно представить в виде

где символом q обозначается вектор, составленный из п искомых переменных. Уравнение (2.35) приводит к получению характеристического полинома порядка п [Chester, 1971]:

det [А 1 + Ыу + СЯз] = О, (2.36)

где Kxj ку и kz определяют нормальное направление к поверхности в точке (х, у, z). Уравнение (2.36) обобщает уравнение (2.29) и дает условие, что данная поверхность является характеристической. Ясно, что если характеристическая поверхность является вещественной, то уравнение (2.36) должно иметь вещественные корни. Если получено п вещественных корней, то система является гиперболической.

Можно задать вопрос, какой характер имеет данное дифференциальное уравнение в частных производных по отношению к определенным направлениям. Например, полагая

Ях = >-г= 1 и разрешая уравнение относительно установим, что уравнение (2.35) является эллиптическим в направлении у, если при этом появляются мнимые корни. Ясно, что каждое направление можно исследовать по очереди.

Ниже предлагается простой пример системы уравнений, формируемой из уравнений Навье -Стокса для установившегося течения несжимаемой жидкости в двух измерениях. В безразмерных обозначениях эта система имеет вид

;с + У = 0, (2.37а)

ии Л-ШуЛ-р-(и + Uyy) = О, (2.37b)

uv + vvy + py-- {v + Vyy) = 0, (2.37c)

где Ux = ди/дх и т. д.. Re - число Рейнольдса, а и, р - искомые переменные. Уравнения (2.37) приводятся к форме системы уравнений первого порядка за счет введения вспомогательных переменных R = Vx, S = Vy и Т = Uy. Таким путем вместо (2.37) получим

Ux + Vy = О,

Sy +Тх =0, (2- >

5/Re - Ty/Re + P = uS- vT, - Rx/Re - 5/Re +Py = uR-- vS.

Задача, приведшая к системе (2.38), была выбрана так, чтобы избежать возникновения особенностей у матриц А и В в уравнении (2.35). Характер вышеприведенной системы уравнений определяется путем замены д/дх на Хх и д/ду на Ху и приравнивания нулю определителя получаемой алгебраической системы, т. е. так, как это сделано в (2.36). Результат получается таким:

(1/Не)Я2(Я2 + Я2)2 = 0. (2.39)

Если положить Ку = 1, то выясняется, что величина Хх мнимая. Если же положить Xx=h то мнимые корни появляются для 7,у. На этом основании делается вывод, что система (2.37) эллиптическая.

Изучение общей проблемы классификации дифференциальных уравнений в частных производных можно продолжить, следуя руководствам [Garabedian, 1964; Hellwig, 1964; Courant, Hilbert, 1962; Chester, 1971].