ству и конечно-элементная схема Кранка - Николсона оказывается значительно точнее других схем.

Особенности течения, показанные на рис. 9.2-9.4, будут еще раз рассмотрены в конце § 9.2. Следует подчеркнуть, что .для лучшего выявления некоторых проблем расчета течений € преобладающим влиянием конвекции здесь были использованы сравнительно грубые сетки (Ajc, А, а также относительно трудное начальное условие. Однако остается в силе утверждение о том, что построение численных решений чисто диффузионного уравнения значительно проще, чем такого же уравнения с конвективным членом.

§ 9.2. Численная диссипация и дисперсия

Многие явления в гидродинамике описываются системами уравнений, которые обладают свойствами гиперболичности , т. е. у них либо совсем отсутствуют диссипативные члены, либо они имеют малый порядок. Для решений таких уравнений характерным являются волновые пакеты, которые распространяются с постоянной либо слабо меняющейся амплитудой. Очень важно, чтобы численные схемы не вносили нефизическую диссипацию, как, например, при решении уравнения (9.10) (рис. 9.2). Важно также, чтобы численные схемы не влияли на скорость распространения волн, т. е. численные схемы не должны вносить искусственную дисперсию, приводящую к результатам, показанным на рис. 9.4.

Решение, описывающее бегущую плоскую волну с диссипацией и дисперсией, можно представить в виде

Г = Re Гарв-Р t ) V l- ( l (9.25)

где Гатр - вещественная положительная величина, т - волновое число, связанное с длиной волны X соотношением К = 2я/т. В выражении (9.25) величина р{т) определяет скорость затухания амплитуды волны, а q(m)-скорость распространения волны.

Если движение плоской волны (9.25) описывается линейным уравнением конвенции, то р{т) и q{m) принимают значения р(т) = 0 и q(m)=Uy т. е. волны любой длины распространяются с постоянной скоростью и не затухают.

Весьма поучительно рассмотреть два уравнения, которые близко связаны с уравнением конвекции (9.2), а именно

f + f- S- = 0, ,9.26,

Уравнение (9.26) представляет собой уравнение переноса, которое будет рассматриваться в § 9.4, а уравнение (9.27) является линейным уравнением Кортевега де Вриза. Для плоских волн, описываемых уравнением (9.26), входящие в решение (9.25) параметры принимают вид

p(m) = am2, q{m) = u, (9.28)

т. е. затухание амплитуды волны определяется диффузионным членом, а скорость распространения постоянная. Так как т = 2яД, то короткие волны затухают быстрее, чем длинные. Для плоских волн, описываемых уравнением (9.27), имеем

р (т) = 0, q{m) = u- (9.29)

т. е. амплитуда волны не меняется, а скорость ее распространения зависит от длины волны. Если имеются волны с разной длиной, то они распространяются с различными скоростями, т. е. диспергируют. Более значительным изменениям подвергается скорость распространения коротковолновых возмущений (большие т). Так, если р положительна, то короткие волны движутся намного медленнее.

Формально теперь мы можем определить диссипацию как затухание амплитуды плоских волн, а дисперсию как распространение плоских волн различной длины с разными скоростями q(m). Говоря о роли старших производных в уравнениях типа (9.26) и (9.27), можно связать положительную диссипацию с появлением пространственных производных четного порядка, умноженных на коэффициенты переменного знака. Аналогично уменьшение скорости распространения волны можно связать с появлением пространственных производных нечетного порядка, умноженных на коэффициенты переменного знака.

При исследовании пригодности (§ 4.2) дискретизированного уравнения, например (9.9), кажется, что разностный алгоритм такой, как (9.10), эквивалентен исходному уравнению в частных производных плюс ошибка аппроксимации на разностной сетке. Но ошибка аппроксимации обычно связана со старшими производными четного и нечетного порядков. Связь между диссипацией, дисперсией и старшими производными в ошибках аппроксимации будет обсуждаться в п. 9.2.2.

9.2.1. Разложение в ряд Фурье

Количественные оценки диссипации и дисперсии численной схемы, вносимые тем или иным вычислительным алгоритмом, могут быть получены путем разложения точного и численного решений в ряд Фурье. Так, для частного примера, рассмотрен-

НОГО В п. 9.1.5, фурье-разложение начального условия (9.23) имеет вид

т=-оо

Используя метод разделения переменных (п. 2.5.2), точное решение в любой момент времени можно представить в виде ряда

Т{х, 0= Е (9.30)

т= - оо

который восстанавливает точное решение (9.24). Фурье-компоненты в (9.30) имеют постоянную скорость и амплитуду, так как уравнение (9.2) не содержит диффузионных членов.

Аналогичным образом можно записать фурье-представление и для решения конечно-разностного алгоритма, например схемы против потока (9.10), в виде

T(x,t)= Z 7e-( V l-< l. (9.31>

m= - оо

Поскольку рассматриваемое алгебраическое уравнение (9.10) является линейным, фурье-компоненты его решения могут рассматриваться независимо.

На одном шаге по времени А волна, описываемая т-й компонентой приближенного решения, пройдет расстояние q{m)At с уменьшением амплитуды, которое определяется множителем ехр [-p(m)At]. В течение того же промежутка времени т-я волна пройдет расстояние uAt с постоянной скоростью. Если к вычислительному алгоритму предъявляется требование отсут-ствия искусственной вязкости или дисперсии, то должно быть р{т) = О, а q(m)= и.

Выражения для р{т) и q{m) можно получить подстановкой (9.31) в (9.10) и вычислением отношения амплитуд т-й компоненты фурье-представления на одном шаге по времени, т. е.

Т -p{m){t+M)im[x-q {m){t + At)] G =Jjni f--[p{m) + imq{m)]At (9 32V

Подстановка в (9.10) дает отношение амплитуд

= 1 + С [cos (тАх) ~ 1] ~ /С sin (тАх). (9.33)

Не удивительно, что оно в точности совпадает с выражением (табл. 9.1), полученным при оценке устойчивости по Нейману разностной схемы с разностями вверх по потоку (9.10).