Из соотношений (9.32) и (9.33) получаем

I G \т ==е-Р( = 1 4С(1 ~ С) sin2(0.5mAjc). (9.34)

.Для устойчивого решения р{т)0 неустойчивость может быть связана с отрицательной диссипацией. Кроме того, выражение (9.34) может служить мерой диссипации алгоритма (9.10). Параметр диссипации р{т) зависит как от С, так и от множителя тАл:, определяемого волновым числом. Коэффициент затухания будет наибольшим при тАх = я, т. е. для более коротких волн.

Скорость распространения волн q{m) связана с фазой фт ютносительного затухания амплитуды От соотношением

= -тд (т) М = arctg , ё[соТ(1лУ-ip (9.35)

где фт - изменение фазы т-й волны на одном временном шаге. Для точного решения

ех = -гпиМ = -Cm Ах.

Таким образом,

Фт д(т) ( \ ....t ( -CsmjmAx) Ч g.

Фех и V СшАх ) S Ух+с [COS (шАх) - 1] 7 *

Скорость волны (или эквивалентное изменение фаз) разностного решения тем ближе к точному решению, чем меньше величина тЛл:, и ошибка растет при тАл:->я.

Если 0<С<0.5, то q{m)<u для больших mAjc.

Если 0.5 <С< 1.0, то q(m)>u для больших тАх.

Различные разностные схемы, рассмотренные в § 9.1, приводят к различным выражениям в правой части (9.33), что в свою очередь приводит к различным значениям р(т) и q{m) в (9.32).

Вводя фурье-разложение для точного и приближенного решений и рассматривая относительное изменение параметров т-й гармоники, можно получить выражения для диссипации и дисперсии численной схемы для любого значения величины тАх. Мортон [Morton, 1971] использовал такой подход для численных схем, рассмотренных в § 9.1.

Наименьшая длина волн, которую может представлять разностное решение К = 2Ах, что равносильно mAjc = я. Длинные волны соответствуют тАх->0. Если разностная схема вносит какую-либо диссипацию или дисперсию, то, как следует из (9.26) - (9.29), можно ожидать, что короткие волны будут иска-,жаться значительнее, чем длинные. С физической точки зрения

предпочтительней моделировать длинноволновые характеристики (малые пгАх) точно и проверять, чтобы любые искусственно вводимые коротковолновые характеристики затухали физически и численно. Такая стратегия совпадает с анализом, приведенным в п. 3.4.2.

9.2.2. Метод модифицированного уравнения

Как мы уже видели, диссипацию и дисперсию можно связать с наличием вторых и третьих пространственных производных, как это было в уравнениях (9.26) и (9.27). Это предполагает, что из анализа ошибки аппроксимации можно определить диссипативные и дисперсионные свойства частного вычислительного алгоритма. Однако ошибка аппроксимации должна интерпретироваться специальным образом.

Предположим, что L(f)= О - дифференциальное уравнение, а La(Г)= О - алгебраическое уравнение, например (9.9). Следовательно, в свете вышеприведенных рассуждений об ошибке аппроксимации Я? можно написать

L (Т) = La (Г) - £/ (f) = 0. (9.37>

Откуда для ошибки аппроксимации получаем

La(T) = L(T) + E{T) = 0, (9.38).

где алгебраическое уравнение представлено в виде разложения приближенного решения в ряд Тейлора. Уравнение (9.38) преобразуется таким образом, чтобы выражение Е{Т) содержало-только пространственные производные. С этой целью уравнение (9.38) неоднократно дифференцируется для исключения производных по ty а также смешанных производных. Это несколько другая ситуация, чем в уравнении (9.37), где ошибка аппроксимации может улучшаться преобразованием L(7)=0.

Уравнение L{T)+ Е{Т)=0 представляет собой дифференциальное уравнение с бесконечным числом членов. Оно называется модифицированным уравнением [Warming, Hyett, 1974],. решение которого будет строиться с помощью алгебраического уравнения при наличии соответствующих граничных условий,-Как и выше, это модифицированное уравнение можно использовать для демонстрации точности вычислительного алгоритма. В модифицированном уравнении производные нечетного порядка связаны с дисперсией, производные четного порядка - с диссипацией. Следовательно, рассматривая члены с производными наименьших четного и нечетного порядков в модифицированном уравнении, мы можем судить о диссипативных и.

дисперсионных свойствах алгебраической схемы, но только для больших длин волн. Это происходит в силу того, что модифицированное уравнение получено на основе разложения в ряд Тейлора, что предполагает малые значения и Дл:. Однако, как отмечалось выше, именно длинноволновые характеристики представляют наибольший интерес.

С помощью модифицированного уравнения можно показать, что при использовании схемы Лакса - Вендроффа (9.16) для решения уравнения (9.2) главный член в ошибке аппроксимации имеет вид

(iii) a-c=, + () c(i-c,.

Как отмечалось выше, схема Лакса - Вендроффа аппроксимирует (9.2) с точностью до 0(Д/ Дл:2). Из приведенного выше выражения для ошибки аппроксимации видно, что дисперсия имеет второй порядок, а диссипация - третий. Модифицированное уравнение было использовано при получении выражений для ошибки аппроксимации в табл. 7.1, 9.1 и 9.3, так что можно оценить диссипацию и дисперсию численной схемы, связанные с длинноволновыми возмущениями (малые тДл:).

Анализ разностных схем с помощью модифицированного уравнения имеет еще и то преимущество, что он распространяется и на нелинейные уравнения, в то время как фурье-анализ (п. 9.2.1) применим только к линейным уравнениям. В работе [Klopfer, McRae, 1983] используется метод модифицированного уравнения для построения обобщенных схем Лакса - Вендроффа при исследовании одномерного нестационарного распространения ударных волн, описываемых уравнениями Эйлера (10.40).

При исследовании численных схем для уравнений гидродинамики (гл. II) с помощью модифицированных уравнений требуется проведение существенных алгебраических преобразований. В этом случае формульные преобразования с помощью ЭВМ, например MACSYMA, могут оказаться очень эффективными. Возможность формульных преобразований в вычислительной гидродинамике обсуждается в работе [Steinberg, Roache, 1985].

9.2,3, Использование разложений в ряды Фурье

Рассмотрение ошибок аппроксимации, приведенных в табл. 9.1 для разностной схемы со сдвигом против потока, схемы Лакса - Вендроффа и Кранка - Николсона в применении к примерам, рассмотренным в конце § 9.1, очень упрощается,