М дх

Однако более точное представление dT/dt на п-м временном слое можно записать в виде

дТ dt

dt

At дТ

6 dt

- О {At%

Из (9.2) имеем

дЧ 2 дЧ 2 дТ

dt ~ дх dt ~ дх dt

Следовательно, более точная (чем (9.39)) полудискретизация уравнения (9.2) дается выражением

1 tt J

, 6 дх\

-Г дТ г 9 л. дТ

+ uO,SuAt = 0. (9.40>

А дх дх

Использование сетки с постоянным шагом и метода Галёркина с конечными элементами и линейной интерполяцией (§ 5.4) приводит уравнение (9.40) к виду

Мх - Д/L J (ГГ - Т1) + CAxLjrl ~ 0.5CД/L Г = О,

(9.41>

если обратиться к фурье-компонентам, входящим в решение. Результаты, указанные на рис. 9.2-9.4 и в табл. 9.1, показывают, что значительная диссипация численной схемы эффективно компенсирует малую дисперсию для разностной схемы против потока и ослабляет часть дисперсионной ошибки в решении Лакса - Вендроффа. В схеме Кранка - Николсона преобладают дисперсионные ошибки, которые приводят к значительному замедлению распространения каждой из фурье-гар-моник. Хотя все схемы Кранка - Николсона устойчивы, с увеличением числа Куранта ошибка растет как (табл. 9.1). Для малых С и, следовательно, малых At дисперсионная ошибка схемы Кранка - Николсона в конечных элементах (табл. 9.1) значительно меньше, чем у других схем, рассмотренных в § 9.1.

Использование разложений в ряды Фурье и модифицированных уравнений позволяет построить более точные численные схемы, уменьшающие ошибки диссипации и дисперсии. Это можно проиллюстрировать на методе Тейлора - Галёркина с конечными элементами [Donea, 1984]. Согласно этому методу, сначала проводятся дискретизация по времени, которая для уравнения (9.2) дает

+ 7- = 0- (9.39>

§ 9.3. Стационарное уравнение с конвекцией и диффузией

Для многих задач обтекания диссипативные механизмы яв-.ляются существенными только в узком слое, обычно вблизи границы обтекания. Численные решения, построенные на сетках, приспособленных к основному потоку, часто начинают осциллировать в пограничном слое, где точное решение претер-

которое является обобщением схемы Лакса - Вендроффа (9.16). Вид массового оператора Мх = [-у т> т] формулировки метода конечных элементов. Член {с/б) LxiTt -Т]) возникает из-за сохранения дополнительных слагаемых в разложении производной дТ/дх в ряд Тейлора. Уравнение (9.41) содержит ошибку аппроксимации порядка 0(А, Ах), что можно сравнить со вторым порядком точности схемы Лакса - Вендроффа (9.16). В работе [Donea, 1984] с помощью разложения в ряды Фурье исследованы дисперсия и диссипация схемы; найдено, что уравнение (9.41) превосходит схему Лакса - Вендроффа для всех длин волн и чисел Куранта в интервале О < С < 1.

Приведенная выше схема может быть обобщена введением дополнительных членов в рядах Тейлора для управления (анти-)диссипацией и (анти-)дисперсией. В работе [Baker, Kim, 1987] выведена такая общая схема и названа формулировкой Тейлора - Вика (ФТВ) метода Галёркина с конечными элементами. ФТВ-алгоритм содержит четыре произвольные постоянные. Специальный выбор этих постоянных дает 17 хорошо известных численных схем, сформулированных в методах конечных разностей и конечных элементов. Оптимальный выбор может быть сделан в принципе и для линейного уравнения конвекции (9.10). Однако для более общих гиперболических уравнений сохранения, например уравнений Эйлера (10.40), оптимальным будет решение, которое обладает хотя и желательной диссипацией, но и значительной дисперсией.

Мы можем сделать общий вывод о том, что следует избегать аппроксимационных формул первого порядка для производных. Аппроксимация первого порядка для п и производной в исходном уравнении будет порождать пространственные производные порядка {п + 1) и выше в модифицированном уравнении (которое является эквивалентным решаемому исходному уравнению). Это особенно важно для конвективных членов (п=1), так как введение фиктивных производных второго и третьего порядков может существенно изменить характер решения.

певает резкое изменение. Стационарное уравнение конвек!-ции - диффузии является полезным модельным уравнением, с помощью которого можно проиллюстрировать это явление. Это уравнение в безразмерных переменных имеет вид

(9.42)

dT dx

= 0.

Оно выражает стационарный баланс между конвекцией и диффузией. Время не играет никакой роли. Если к (9.42) добавить граничные условия

Г(0) = 0 и f(l)=1.0, (9.43)

то в интервале О л: 1 точное решение можно представить в виде

Т = - 1.0]/И - 1.0]. (9.44)

Это решение, приведенное на рис. 9.5, характеризуется постоян-

о Дх=0.1, R ,1-2

---точное решение

и/а=2в

o.sh

-0.5

Рис. 9.5. Влияние числа Рейнольдса ячейки на решение уравнения конвекции -- диффузии.

НЫМ распределением Т почти на всем интервале, кроме тонкого пограничного слоя в окрестности л: = 1.

9.3,1, Влияние сеточного числа Рейнольдса

Если использовать трехточечные центральные разности для производных в (9.42), то получим следующий алгоритм:

- (1 + 0.5/?ceIl) Tf , + 2Ti - (1 - 0.5/?eeIl) = О, (9.45)

где /?сеи = иАх/а, т. е. Rceii - число Рейнольдса (строго говоря. Пекле), построенное на характерной длине ячейки Ах,