www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

Таким образом, модификация может быть использована для нейтрализации отдельных членов разложения в ряд Тейлора для полного уравнения. В частности, при выборе q = 0.5 исключается член AxdT/dx и схема (9.53) становится схемой порядка О(Ах). В свете сказанного выше о связи раскачки решения с дисперсией и производными четного порядка можно ожидать, что использование (9.53) с q = 0.5 и вместе с соответствующей дискретизацией для dT/dx приведет к более точному решению с меньшей раскачкой, чем (9.45).

Использование формулы (9.53) при дискретизации (9.42) приводит к следующему неявному алгоритму:

/?се11Г, 2 - [1 + (9 + 0.5) /?cell] -f (2 -f ?/?cell) Tj -

- 1 + (-f - 0.5) /?ceii] Tf, = 0, (9.54)

который сводится к (9.45) при = 0. Структура (9.54) приводит к решению более сложной четырехдиагональной матрицы.

9.3.2. Схемы с разностями против потока повышенного порядка точности

Именно колебательный характер решений, получаемых при использовании трехточечных центральных разностей для представления dT/dx в (9.42), и диссипативная природа двухточечной схемы с разностью против потока (9.50) наводят на мысль, что для получения более точного решения необходимо использовать четырехточечное представление для dT/dx. При а > О таким представлением может быть следующее:

4j - + + cTf + Tj,. (9.52)

Следуя процедуре п. 3.2.2, получаем следующую схему:

Для отрицательных значений и соотношение (9.53) заменяется на

ат т,,--т, , я(т, ,гт, + ът,т,,)

dx 2Ах ЗАх Г

Уравнение (9.53) умышленно записано в виде модификации трехточечной схемы центральных разностей. Параметр q определяет степень модификации.

Разложение в ряд Тейлора около /-го узла дает



Для ЭТОЙ цели эффективным является использование обобщенного алгоритма Томаса (п. 6.2.4) с / = 0. Требующиеся для этого дополнения к подпрограммам BANFAC (рис. 6.18) и BANSOL (рис. 6.19) указаны на распечатках программ рис. 9.8 в строках 126-133.

Численное решение уравнения (9.54) с граничными условиями (9.43) можно сопоставить с точным решением, данным формулой (9.44). Типичные результаты, полученные на грубой сетке с Ал: = 0.2, jRceii = 4, для различных значений q приведены в табл. 9.2. Случай = О совпадает с решением по трехточечной схеме центральных разностей (9.43), которая приводит к осциллирующему решению, изображенному на рис. 9.5 и 9.6.

Таблица 9.2. Решение уравнений (9.42), (9.43) с использованием (9.54)

и грубой сетки

Точное решение

0.0000

0.0000

0.0003

0.0018

1.0000

.7 = 0

0.0164

-0.0328

0.1148

-0.3279

1.0000

= 0.5

0.0000

-0.0003

0.0058

-0.0760

1.0000

=1.0

0.0000

0.0002

0.0036

0.0597

1.0000

=1.5

0.0004

0.0032

0.0222

0.1491

1.0000

Случай q = 0.5 приводит к значительно более точному решению, хотя все еще слегка осциллирующему. Видно, что с увеличением q решение становится более гладким, но с увеличением диффузии, подобно решению, полученному по двухточечной схеме против потока (9.50), показанному на рис. 9.6. На мелкой сетке при q = 0.5 получаются наиболее точные решения (не показаны).

Эквивалентное дифференциальное уравнение, в действительности решаемое по схеме (9.54), можно получить разложением в ряд Тейлора в окрестности узла /. В результате

dT dx

Ах d dx

Ах dn

4ell

Для практических задач, для которых типичны малые значения а/и, величина jRceii имеет порядок 0(1) или больше. Это



означает, что формальная ошибка аппроксимации, вносимая представлением (9.42) для производных, может различным образом влиять на точность решения уравнения (9.54). Так, при дф0,5 третий член в (9.55), по-видимому, будет оказывать наибольшее влияние на точность решения. Отсюда следует, что для задач с малым коэффициентом диффузии а конвективные члены, подобные udT/dx в (9.42), должны аппроксимироваться более точно, чем диффузионные.

Результаты, приведенные в табл. 9.2, согласуются с (9.55). Видно, что увеличение q ведет к положительной диссипации. Однако следует помнить (§ 9.2), что разложение (9.55) является более подходящим для описания длинноволновых возмущений. Из разложения (9.55) следует, что при = 0.5 и Rceu = = 1.0 разностная схема (9.54) формально является схемой четвертого порядка. Однако для нелинейных задач конвекции Reel] будет зависеть от локального решения, так что точности четвертого порядка невозможно достигнуть во всей вычислительной области. Частный случай q = 0.375 был рассмотрен в работе [Leonard, 1979] в связи с двумерной задачей, описанной в п. 17.1.5.

Из анализа, приведенного в § 9.2 и 9.3, следует, что пространственные производные нечетного порядка, входящие в ошибки аппроксимации, связываются с колебанием решения, а производные четного - с диссипацией или неограниченным ростом в зависимости от знака стоящего перед производной множителя. Тенденция вызвать колебания без потери амплитуды будет относиться к явлению типа дисперсии, хотя понятие дисперсии, строго говоря, имеет смысл только для нестационарных течений. Если данное стационарное течение рассматривать как предел нестационарного (со стационарными граничными условиями) на очень большом интервале времени, любые колебания типа дисперсии можно считать происходящими из-за баланса между влиянием дисперсии и наложением граничных условий.

§ 9.4. Одномерное уравнение переноса

Одномерное уравнение переноса может быть записано в виде

где Г -пассивная скалярная величина (например, температура), подверженная конвекции с постоянной скоростью u(xj) и диффузии (рис. 1.7). Если Г - температура, то а - коэффициент

25 К. Флетчер, т. 1



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика