для уравнения переноса дТ/dt + идТ/дх - адЧ/дх = 0

Коэффициент затухания G (е=тя Ах)

Условие устойчивости

Замечание

1 -2s(l - cos 9) - /С sin 9

0<C2<2s<l

/?eell<2/C для точности

1 - (2s + С) (I - cos 9) - iC sin 9

С + 2s < I

ceIl<2/(l-C) для точности

В ± [B~8s(l +2s)]2 (2 +4s)

где В = 1 + 4s cos 9 - i2C sin 9

C<1

для точности

1 - 2s* (Г- cos 9) ~ iC sin 9, где s*=-a*M/Ax

0<C2<2s*<l

cell 2 чтобы избежать пространственных осцилляции

1 s(l - cos 9) --/0.5C sin 9 I + s(l - cos 9) + /0 5Csin9

cell2 чтобы избежать пространственных осцилляции

Схема

3-слойная

чисто

неявная

Алгебраическая форма

Ошибка аппроксимации Е * (главные члены)

3 дг Т~а7

2 М

и (Дх2/6) (1 + 2С2) -

Линейная МКЭ Кранк - Николсон

Д77+

( Т1 + Т1+ \

+ a{AxV\2) (1 -3C2)

Алгебраическая схема эквивалентна уравнению dT/dtи дТ/дх - адТ/дх-\-RQll=Cls=uAxla.

Если ДЛЯ представления (9.56) использовать, как в схеме Ричардсона (7.8), центральные разности по времени вместе с центральными разностями по пространству, то полученный в результате алгоритм будет безусловно неустойчив, если не потребовать s=0, что приведет к схеме чехарда (9.15) для уравнения конвекции (9.2).

Схема Дюфорта - Франкела для уравнения переноса имеет* вид

-ар-

= 0. (9.63)

Анализ устойчивости по Нейману показывает, что если число Куранта 1, то не требуется ограничения на s. Из

разложения в ряд Тейлора в окрестности узла (/, п) следует что в противоположность уравнению диффузии для аппрокси-

Таблица 9.3 (продолжение)

Коэффициент затухания Q

Условие устойчивости

Замечание

1 ± -f 3 + 16s (1 - COS 6) + /8С sin 6]

2 (l + -- [2s (1 - cos 6) + iC sin 6])

/?cell < 2, чтобы избежать пространственных осцилляции

2 + 3 cos е - 3s (1 - cos 6) - П.ЪС sin 6 2 + 3 cos e + 3s (1 - cos 6) + П.ЪС sin 6

cell < 2, чтобы избежать пространственных осцилляции

мации схемы (9.63) уравнением (9.56) необходимо потребовать Ал: (С1 в табл. 9.3), а это очень строгое ограничение. Если для представления дТ/дх использовать центральные разности вместо разностей против потока, то для положительных и получим алгоритм

ГГ = (s + С)Ти + (1 - 25 ~ С) Г? -f sTUu

(9.64)

Разложение в ряд Тейлора показывает, что (9.64) аппроксимирует уравнение (9.56) с точностью О {At, Ах). Из выражения для ошибки аппроксимации для схемы с разностями против потока, приведенной в табл. 9.3, следует, что она вносит искусственную диффузию с коэффициентом а = О.ЪиАх(I - С).

Такой же член возникает и для уравнения конвекции (табл. 9.1). Для получения точных решений уравнения переноса с помощью схемы с разностями против потока необходим МО потребовать, чтобы

а < а или /?се11 < jZTc