o.6 (ILizU±Z2-+ZWrig)=o, (9.67V

Анализ устойчивости схемы (9.64) по Нейману дает коэффициент усиления G, который приведен в табл. 9.3. Необходимое условие устойчивости G 1 приводит к требованию

25 + С<1, (9.65).

что эквивалентно неравенству

которое является значительно более строгим ограничением, чем для уравнения диффузии (табл. 7.1).

В большинстве рассматриваемых до сих пор схем ограничения были связаны с тем, что необходимо получить достаточно точные решения, используя для производных аппроксимацион* ные формулы первого порядка точности. Схема Лакса - Вендроффа (9.16) обладает вторым порядком точности как по временной переменной, так и по пространственной. Для уравнения: переноса (9.56) схема Лакса - Вендроффа может быть интерпретирована как схема ВВЦП с модифицированной диффузией а* = а(1-{-0.5C/?ceii). При /?ceiiоо ошибки аппроксимации и условия устойчивости вновь возвращаются к указанным в. табл. 9.1.

Неявные схемы

Использование неявных схем для уравнения диффузии более эффективно, поскольку для них не требуется выполнения-условия устойчивости S 0.5. Наиболее эффективная одномерная двухслойная схема для уравнения диффузии, схема Кранка- Николсона, здесь будет рассмотрена в применении к уравнению переноса. Строго говоря, данную схему следует описывать как трапецоидальную схему, поскольку первоначальная схема Кранка - Николсона была развита для уравнения диффузии. Однако названия - схема Кранка - Николсона и двухслойная - будут применяться время от времени к любой двухслойной схеме, в которой пространственные производные вычисляются симметрично относительно слоя (/2+ 1/2) по времени.

Для уравнения переноса использование схемы Кранка - Николсона дает разностное представление

которое можно переписать в виде алгоритма - (5 + 0.5С) да + 2(1 + 5) ГГ - (5 - 0.5С) Titl =

= (5 + 0.5С)Г--1 + 2 (1 - 5) Г? + (5 - 0.5С) Г/%,. (9.68)

Почленное разложение (9.68) в ряд Тейлора в окрестности узла (/, п) показывает, что этот алгоритм аппроксимирует уравнение (9.56) с погрешностью порядка 0{Aty Ах), Таким образом, проблема искусственной диффузии, возникающая в схемах первого порядка, здесь отсутствует.

Анализ устойчивости алгоритма (9.68) по Нейману дает для .коэффициента усиления G приведенные в табл. 9.3 выражения, из которых видно, что они не накладывают никаких ограничений на критерий устойчивости для С или s. Но для отсутствия осцилляции решения по пространству требуется удовлетворить неравенство jRceii = 2.

Для длинноволновых компонент (малые тАх) решения о свойствах диссипации и дисперсии вычислительных алгоритмов для уравнения переноса можно судить, исходя из выражений для ошибки аппроксимации, приведенных в табл. 9.3. Юбычно неявные схемы в этом смысле являются удовлетворительными. Физическая диссипация в системе приводит к умень* :шению больших дисперсионных ошибок, связанных с коротко--волновыми возмущениями (тАх-п), возникающими в решении уравнения конвекции. В частности, конечно-элементная -схема Кранка - Николсона, приведенная в табл. 9.3, обладает малыми ошибками, связанными с дисперсией и диссипацией, лри малых значениях С. Для получения информации о коротковолновых компонентах решения необходимо провести фурье-анализ схемы (п. 9.2.1). Это будет применено к задаче о кон-лзекции температурного фронта в следующем пункте.

9.4,3. TRAN: конвекция температурного фронта

Рассмотрим некоторые из описанных в п. 9.4.1 и 9.4.2 схем шрименительно к задаче о конвекции со скоростью и температурного фронта в жидкости с коэффициентом термодиффузии а. Для больших значений числа Рейнольдса ячейки (строго говоря, числа Пекле), Rceu = иАх/а, ширина фронта ограничена несколькими шагами по пространству (рис. 9.11) и все схемы,-описанные в п. 9.4.1 и 9.4.2, порождают осциллирующие решения, в основном обусловленные дисперсионными ошибками чхемы (§ 9.2).

Попытаемся построить две новые схемы, которые будут обладать намного лучшими дисперсионными характеристиками.

Обе схемы основаны на разностных формулах Кранка - Николсона для производной по времени. Первая схема представляет собой обобщение схемы Кранка - Николсона (9.20) с массовым оператором, которая применялась для линейного уравнения конвекции (п. 9.1.5). В случае одномерного уравнения переноса она дает

+ {uLx - aLxx) 0.5 (Г? -f ТГ) = О, (9.69>

где Мх {6, (1-26), б}, а Ljj - условное обозначение для трехточечных формул с центральными разностями. Параметр б будем выбирать таким образом, чтобы уменьшить дисперсионные ошибки схемы. Очевидно, что схема (9.69) приводит к трехдиагональной системе уравнений, которая может быть решена с использованием эффективных методов. Анализ устойчивости. по Нейману показывает, что схема (9.69) устойчива при. б < 0.25.

Что касается длинноволновых характеристик схемы, то, используя метод модифицированных уравнений (п. 9.2.2), видим что система (9.69) эквивалентна следующему уравнению:

дТ , дТ дТ , . 2 П X х\

- (ly + X - ) + = О- (9-70>

Формально схема (9.69) является схемой второго порядка точности. Очевидно, что выбором б= 1/6-j-0/12 можно подавить младший член с дисперсией в ошибке аппроксимации. Если кроме того, << 0.5, то младший диссипативный член будет вносить положительную диссипацию в ошибку аппроксимации.. Однако при оптимальном выборе б для устойчивости схемы требуется, чтобы С 1.0.

Альтернативным средством для улучшения дисперсионных свойств схемы является использование четырехточечной схемы Кранка - Николсона с разностями против потока

где при иО

Ь<:>Т = 0.5 (7/-) + il--f-l-i-). (9.72).

Соотношение (9.72) представляет собой четырехточечный конвективный оператор, введенный в связи с рассмотрением стационарного уравнения диффузии - конвекции в п. 9.3.2.