Л + В-+СО (2.40)

отыскивается в форме

оо оо

и{х, у) = - Y, Yj /ftexp[/(a;,)/.v]exp[t(aj,bt/]. (2.41)

/ = -оо =-оо

Амплитуды различных мод определяются при этом с помощью граничных условий. Однако характер решения будет зависеть от коэффициентов {ax)f и {ay)ky которые могут оказаться комплексными. Если коэффициенты Л, В и С не являются функциями Uy то соотношение между Ох и Оу остается одним и тем же для всех мод, так что в выражении (2.41) нужно рассмотреть только одну моду. Подстановка в (2.40) при этом дает

-~Aol-Ba,a-Cal = 0, или Л (а>,)2 + 5 (а>) + С = 0.

(2.42)

2.1.5. Классификация с помощью анализа Фурье

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных с помощью характеристик (см. п. 2.1.3 и 2.1.4) связана с интерпретацией корней характеристического полинома, например, по (2.36). Эти корни определяют характеристические направления (или поверхности, если речь идет более чем о двух независимых переменных).

Однако тот же самый характеристический полином можно получить, если дифференциальное уравнение в частных производных подвергнуть анализу Фурье. В этом случае сами корни имеют другую физическую интерпретацию, хотя классификация дифференциального уравнения в частных производных по отношению к характеру этих корней остается той же самой. Подход при помощи анализа Фурье полезен для систем таких уравнений, в которых фигурируют производные выше первой, так как при этом подходе отпадает необходимость в построении промежуточной системы большего числа уравнений первого порядка. Подход, основанный на анализе Фурье, дает, кроме того, указание на ожидаемую форму решения, например, будет ли оно колебательным, с экспоненциальным ростом и т. п. Это свойство используется в гл. 16 в процессе определения того, могут ли устойчивые численные решения укороченных форм уравнений Навье -Стокса быть получены с помощью единственного марша по пространству.

Предположим, что решение однородного скалярного уравнения второго порядка

дх дх ду ду

ОО ОО

й {Оху у)= \ \ (- у) (- хХ) ехр (- ioyy) dx dy, (2.43)

- ОО - ОО

или в общепринятом обозначении й = Fu.

При анализе свойств дифференциальных уравнений в частных производных следует воспользоваться следующими результатами:

ia.u = F, layu = F. (2.44)

Таким образом, характеристический полином можно получить, подвергая преобразованию Фурье все члены определяющего уравнения. В качестве примера укажем, что уравнение (2.40) преобразуется к форме

[А {loxf + В ЦвхЬОу) + С itoyf] й = О, (2.45)

откуда непосредственно следует (2.42). Характеристический полином, вывод которого проведен с помощью преобразования Фурье, часто называют символом дифференциального уравнения в частных производных.

Способ построения характеристического полинома, основанный на преобразовании Фурье, остается пригодным, если Л, В или С являются функциями независимых переменных. Если же Л, В или С представляют собой функции искомых переменных, то перед введением преобразования Фурье эти коэффициенты необходимо заморозить на их локальных значениях.

Здесь фигурирует характеристический полином относительно Gxloyy эквивалентный тому, который появлялся в (2.29). Свойства дифференциального уравнения в частных производных (2.40) зависят от свойств корней, а следовательно, и от Л, б и С, как это было в (2.2).

Подход с помощью анализа Фурье позволяет из главной части определяющего уравнения получить тот же самый характеристический полином, который получался при анализе характеристик. Однако если предположить, что величина Оу вещественная, то форма решения в направлении у оказывается волнообразной. После этого решение, соответствующее характеристическому полиному (2.42), полученному из полного уравнения, позволяет судить о форме решения в направлении х.

Изучение формы (2.41) свидетельствует об аналогии с определением преобразования Фурье [Lighthill, 1958], имеющим вид

Г 1

о i(ua+vOy) + {ol + ol) ioy

г w т

= 0, (2.46)

L р J

ИЗ которой получается характеристический полином det[ ] = = О, т. е.

{al + al) ]i {иа, + vOy) + (1/Re) (a + a)] = 0. (2.47)

Однако в левой части (2.47) содержится комплекс i(wax+ + vay), связанный с первыми производными и и v, С другой стороны, свойства системы (2.37) определяются ее главной частью, из которой явным образом исключены все производные, кроме высших. В данном случае (2.47) совпадает с (2.39) и приводит к выводу о том, что система (2.37) является эллиптической. При сравнении (2.46) с (2.38) становится ясно, что подход с помощью анализа Фурье позволяет обойти проблему построения эквивалентной системы уравнений первого порядка, связанную с возможностью того, что эта система будет особой.

Корни характеристического полинома, полученного с помощью анализа Фурье, интерпретируются здесь таким же образом, как при методе характеристик, примененном для определения типа дифференциального уравнения в частных производных. Альтернативная классификация, основанная на величине наибольшего корня характеристического полинома, описывается Гельфандом и Шиловым [1967].

Подход, основанный на применении анализа Фурье, используется в § 16.1 для определения свойств решения, строящегося с помощью единственного маршевого прохода вниз по потоку. В этой ситуации эквивалент уравнения (2.47) основан на сохранении всех членов определяющего уравнения, а не только его главной части.

4 К. Флетчер, т. 1

Применение подхода на основе анализа Фурье к системам уравнений можно проиллюстрировать с помощью рассмотрения уравнений (2.37). Если заморозить коэффициенты и и v в уравнениях (2.37b) и (2.37с) и провести преобразование Фурье для

V и р, получим следующую однородную систему алгебраических уравнений: