Таблица 9.9. Волновые характеристики решения при Rceu - 3,33, С = 1,0,

А;с = 0.1

Схема

0.05

0.25

0.50

0.75

1.00

Кранка-Николсона с конечными разностями (CN-FDM)

Кранка-Николсона с массовым оператором (CN-MO)

Кранка-Николсона, 4-точечная с разностями против потока (CN-4PU)

Gm/Gex, т Gm/Gex, т

0.996 0.996 0.996

0.858 0.841 0.827

0.619 0.573 0.438

0.389 0.683 0.216

0.251 1.003. 0.231

Точное решение

Кранка-Николсона с конечными разностями (CN-FDM)

Кранка-Николсона с массовым оператором (CN-MO)

Кранка-Николсона, 4-точечная с разностями против потока (CN-4PU)

ех, т Фт

-9.00 -8.94

-9.00

-8 96

-45.00 -39.19

-45.37

-40.65

-90.00 -56.58

-100.21

-71.29

-135.00 -49.09

-164.20

-130.14

-180.0а О.ОО

-180.00

-180.00

Таблица 9.10. Волновые характеристики решения при Rceu =100, С = 1

Ajc = 0.1

В табл. 9.9 и 9.10 приведены значения Gm/Gex, m и фт для различных 9,71 и соответствующих условиям табл. 9.7 и 9.8.

Для четырехточечной схемы Кранка - Николсона с разностями против потока (9.71) для От и фт получаем выражения

/ [1 - S* (1 - cos дт)? + {0.5С sin Qm[l+q{l- cos Qm)/ И

~ Ul + 5* (1 - COS Qm)? + {0.5С sin От [1 + (7 (1 - cos em)/6 И )

(9.79)

iaS = -С sin 9m [1 + (1-cos9m)/6] .g gQ.

Vm I [5. (1 eos 9m)l - {0.5C sin 9m [1 + (I - cos 9m)/6]}2

где s* = s-f (7C(1 - cos6m)/3. Отношение амплитуд и фазовый угол в зависимости от 6т при Rcew = 3.33 и 100 приведены в табл. 9.9 и 9.10 соответственно.

Видно, что при i?ceii = 3.33 (табл. 9.9) конечно-разностная схема Кранка - Николсона плохо согласуется с точным решением по фазовому углу, особенно для коротких волн при вт-я. Наоборот, схема с массовым оператором и четырехточечная схема дают хорошее согласие с точным решением по фазе. Обе схемы имеют тенденцию к диссипации для промежуточных длин волн (6т л;/2), а четырехточечная схема является диссипативной и для коротких волн.

При /?се11 = 100 (табл. 9.10) конечно-разностная схема Кранка - Николсона сохраняет амплитуду при всех длинах волн, но вносит значительные ошибки в величину фазового угла при малых длинах волн. Это совпадает с осцилляциями температурного фронта на рис. 9.11. Четырехточечная схема с разностями против потока дает ошибку в фазе для промежуточ-

НЫХ длин волн, компенсируя ее значительным затуханием коротковолновых возмущений. Из приведенного на рис. 9.11 соответствующего решения для температурного фронта видно, что эта схема приводит к небольшим осцилляциям и сглаживанию профиля температуры. Схема Кранка - Николсона с массовым оператором сохраняет амплитуду, так же как и конечно-разностная схема, но, кроме того, дает хорошее согласование по фазовому углу. Следовательно, резкий профиль температур на рис. 9.11, соответствующий этой схеме, не является неожиданным.

Хотя вариация параметра б в схеме с массовым оператором и параметра q в четырехточечной схеме против потока являются довольно эффективным средством уменьшения дисперсионных ошибок, их влияние вытекает из дискретизации различных членов исходного уравнения (9.56). Массовый оператор связан с производной dT/dt, а четырехточечная разность против потока - с конвективным членом идТ/дх. Отсюда следует, что стратегия выбора оптимального массового оператора непригодна для одномерного стационарного уравнения конвекции - диффузии (§ 9.3). Однако в случае многомерных уравнений переноса массовый оператор появляется в методе конечных элементов в связи с недифференцируемыми пространственными направлениями. Следовательно, механизм изменения б в массовом операторе для уменьшения дисперсии имеет место как для нестационарных, так и стационарных многомерных уравнении переноса (§ 9.5).

Аналогичный приведенному выше фурье-анализ для обычных конечно-разностной и конечно-элементной схем выполнен в работе [Pinder, Gray, 1977] для одномерного уравнения переноса. Фурье-анализ схемы, основанной на использовании представлений Тейлора - Галёркина, в применении к одномерному уравнению переноса выполнен в работе [Donea et al., 1984].

В данном параграфе использовались различные аналитические методы, анализ устойчивости по Нейману, метод модифицированного уравнения и фурье-анализ для исследования некоторых общепринятых схем решения задач с преобладающим-влиянием конвекции, а также для построения улучшенных схем..

§ 9.5. Двумерное уравнение переноса

Дополнительные трудности, возникающие при анализе многомерного уравнения переноса, сравнимы с теми, которые имеют место при переходе от одномерного уравнения диффузии к многомерному. В двумерном случае уравнение переноса имеег