410 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции ВИД

f + f+ #- .#- .#-0. (9.80

Явные схемы для уравнения (9.81) устойчивы при более жестких условиях, что было справедливо также и по отношению к явным схемам для двумерного уравнения диффузии. Так, например, двумерный вариант схемы ВВЦП (9.58) приводит к алгоритму

Ttk = + 0.5С J Tt uk + {\-2Sx- 2Sy) Tl, +

+ {Sx ~ 0.5C,) n+i. k + {Sy + 0.5C,) Tl k-л +

+ {Sy-O.bCy)Tlku (9.82)

Sx = ax/S/Ax\ Cx = uMlAx, Sy = ayAtJAy, С у = vtSijAy.

-Анализ устойчивости алгоритма (9.82) по Нейману дает следующие условия [Hindmarsh et al., 1984]:

{Sx + Sy) < 0.5, + < 2. (9.83)

Если Sx = Sy = 5, TO для устойчивости должно быть 5 0.25, что 3 два раза меньше, чем в одномерном случае.

Другой серьезной проблемой многомерного случая является введение искусственной диффузии, в частности искусственной перекрестной диффузии, вводимой схемами первого порядка. Как мы уже видели, использование разностей первого порядка по времени и разностей против потока для конвективных членов приводит к появлению членов с искусственной диффузией и дисперсией. В двумерном случае эквивалентная разностная схема вносит члены с искусственной диффузией с коэффициентами

а; = -О.ЪиАх {Сх - 1), = ~0.5uA/ {Су - 1). (9.84)

Ошибки, вносимые этими членами, особенно велики, когда вектор скорости направлен под углом 45° к координатному на-лравлению [de Vahl Davis, Mallinson, 1976]. Этот вопрос более лодробно будет обсуждаться в п. 9.5.3.

Mx(S>My[il + y)--

(9.87)

RHS = -[My® {uLx - aLxx) + ® {vLy - ayLyy)] T,

9.5.1, Методы расщепления

При использовании неявных схем для двумерного уравнения переноса удается избежать трудностей выполнения условий устойчивости, присущих явным схемам, но возникает проблема получения эффективного решения неявных разностных уравнений, точно так же как и для уравнения диффузии.

Здесь мы рассмотрим типичный случай приложения метода расщепления к двумерному уравнению переноса. Применяя метод Галёркина с конечными элементами (§ 5.3) с билинейными прямоугольными элементами к уравнению переноса (9.81), получим

Мх ® My []. = [-иМу ® - vMx Ly + а,Му ® -f

+ a,M,®Ljr;,b (9.85)

где L.(~l, О, 1)/2Л, L, = (l, О, -1)72Ду и = (-,-f, 4-) для равномерной сетки. Операторы Lxxy Lyy и My даются формулами (8.30) и (8.31).

Уравнение (9.85) можно сравнить с (8.29). Дополнительный член в (9.85) возникает из-за наличия конвективных членов. Однако массовые операторы по направлению в конвективных членах ведут себя так же, как и для диффузионных членов. Другими словами, для метода конечных элементов они оказывают влияние на операторы Lx и Ly в перпендикулярном направлении. Это следует из тензорного произведения ® и формы операторов Мх и My, Уравнение (9.85) можно обобщить, если ввести определение

М, = (б 1-2б б,), Му = (6у, 1-26, б,) (9.86)

где бд; и 8у - параметры, которые могут выбираться из условий минимизации дисперсионных погрешностей аналогично тому, как это делалось в п. 9.4.3 при выборе б в уравнении (9.21). Выбор 8х = бу = О дает трехточечную конечно-разностную схему, выбор 8х = 8у = 1/6 приводит к линейной конечно-элементной схеме.

При использовании трехслойного представления для dT/dt уравнение (9.85) можно привести к виду

А7 +1 - 1 = (1 р) + р ЯИЗК

Та же самая схема была использована для разностного представления (8.26) уравнения диффузии.

Вводя то же расщепление, которое применялось к (8.29), получим следующий двухступенчатый алгоритм для решения двумерного уравнения переноса:

: + М {uLx - a,L )] ATI k = (jfy) RHS -f

+ {j)Mx®MyATlk, (9.88)

My + (j) {Pyy - yyy)] lTTk = Tl (9.89)

Ясно, что включение конвективных членов, т. е. uLx и vLy, не избавляет от необходимости эффективного разбиения (9.87) на совокупность трехдиагональных подсистем уравнений на каждом слое расчетной сетки.

Алгоритм (9.88), (9.89) аппроксимирует уравнение (9.81) с ошибкой 0(Д2, Ал:, Ау); при этом для двухслойной схемы Y = 0, р = 0.5, а для трехслойной у = 0.5, Р = 1. Та же точность достигается независимо от того, используется ли линейная конечно-элементная схема или трехточечная конечно-разностная схема для вычисления операторов Мх, My, Lx, Lxx, Ly, Lyy. Однако коэффициенты в выражении для ошибок аппроксимации будут разными в разных случаях, причем конечно-элементный метод дает более точные решения.

Анализ устойчивости схем (9.88) и (9.89) по Нейману дает квадратное уравнение (в случае трехслойной схемы) для коэффициента усиления G, решение которого легко находится численно. Результат расчета показывает, что при р О обе схемы безусловно устойчивы как в случае аппроксимации с помощью бесконечных элементов, так и с помощью конечных разностей.

9.5.2. THERM: задача о проникновении тепла

Метод расщепления, сформулированный в п. 9.5.1, здесь будет использован для решения задачи о втекании холодной жидкости в горячий двумерный канал с сечением очень большого удлинения. Вдали от боковых стенок канала распределение температуры существенно двумерное и описывается стационарной формой следующего уравнения энергии:

где ал: = = а - коэффициент термодиффузии. Уравнение (9.90) записано в нестационарном виде для использования