линейный метод конечных элементов со стационарным модифицированным уравнением, решение которого в действительности и находилось.

Относительные характеристики построения массового опе--ратора и четырехточечной дискретизации с разностями против потока для конвективных членов можно сравнить, если рассмотреть стационарное модифицированное уравнение для схемы которая включает в себя свойства обоих вариантов. Запишем это уравнение

д (иТ) , д (vT)

дП дх

дП ,

У ду

+ {иАхУб) (1 - 2qx - 66,) +

+ iQx + (66, - 0.5) ?ceii. xliFJ + +

+ [ду + (66 - 0.5) ?eelI, I/] ij + ... = О, (9.97)

где qx и - свободные параметры, введенные в четырехточечную схему с разностями вперед, применяемую для дискретизации членов д{иТ/дх) и d{vT)fdy соответственно. Параметры бл: и 8у заменяют 6 в определениях Мх и My (9.94). Числа Рейнольдса ячейки определяются в виде

RceU, X =

uAx cix

HcelUy-

(9.98)

В рассмотренном примере у = О, так что Rceu, у = 0. В противоположность случаю для уравнения конвекции - диффузии iRceii, ;с является функцией координат.

Из (9.97) ясно, что при выборе qx = qy = 0.5, 6л: = 6/ = О либо qx = qy = Oy (>х==у = т производные третьего порядка дающие дисперсию, будут исключены. Однако последующее рассмотрение диссипативных членов с производными четвертого порядка несколько отличается, особенно для больших чисел Рейнольдса Rceiu Оба метода дают положительную диссипацию, но в случае схемы с массовым оператором диссипация стремится к нулю с увеличением числа Рейнольдса ячейки, тогда как для случая четырехточечной схемы с разностями против потока это не имеет места. Результаты табл. 9.12 представляют-решение уравнения (9.97).

9,5.3. Поперечная диффузия

При использовании двухточечной схемы с разностями про-тив потока для конвективных членов в одномерной задаче воз-шикает искусственная диффузия а = 0.5 uAx (табл. 9.1 и 9.3) для одномерной задачи. В случае многих переменных влияние искусственной диффузии удобнее рассматривать в связи с локальным направлением потока. Так, в случае двух переменных коэффициенты искусственной диффузии вдоль потока и в поперечном к потоку направлении представляют больший физический интерес, чем коэффициенты искусственной диффузии вдоль координатных направлений.

При а = ах = ау и и = v = const двумерное стационарное уравнение конвекции - диффузии можно записать в виде

Будем предполагать, что для дискретизации производных Т/дх и дТ/ду используется двухточечная схема с разностями против потока, а для дискретизации дТ/дх и dTfdy - трехточечные центральные разности. Разложение в ряд Тейлора членов полученного в результате дискретизации разностного уравнения показывает, что оно с точностью 0(Ах, Ау) аппрок-Симирует уравнение

4 + l7-(° + <)S-(° + °;) = o. ( I00)

тде a = 0.5wAjc, а = 0,5иДу.

Ясно, что уравнение (9.100) является непосредственным обобщением одномерного уравнения (9.51) с той разницей, что оно содержит искусственную диффузию по координатным направлениям.

В уравнении (9.100) удобно перейти к координатной системе, связанной с касательным и нормальным к потоку направлениями. В результате получим дТ (дЧ , дП\ , дЧ , дЧ , дЧ /п 1А1Ч

= 0.5 (Лл: соз а + Ау sin а), а = 0.5 (Ау sin а - Ajc cos а) sin 2а, = 0.5q (Ах cos а sin а-{- Ау sin а cos а).

В уравнении (9.101) 5 и п означают координаты по каса-тельной и нормали к локальному направлению потока

соответственно. Кроме того, скорость равномерного потока q направлена под углом а к оси jc, так что

u==qcosa и v = qs\na. (9.102)

Первые три члена в уравнении (9.101) являются результатом непосредственного преобразования уравнения (9.99). Последние три члена описывают искусственную диффузию. В случае Ах = Ау видно, что будет максимальным при а = 45 и нулевым, если направление потока совпадает с осью х или у. И наоборот, искусственная диффузия вдоль линий тока максимальна при а = О или 90° и минимальна при а = 45°.

С первого взгляда может показаться, что искусственная диффузия вдоль линий тока представляет большой интерес, так. как при Ах = Ау [ [а для всех а в интервале О а 90°. Однако для большинства течений производная dT/ds очень мала всюду, кроме окрестности точки торможения. И наоборот, для сдвиговых течений и пограничного слоя (гл. 16) дТ/дп dT/ds и производная дТ/дп сравнима по величине с конвективным членом qdT/ds. Следовательно, поперечная искусственная диффузия может вносить значительную погрешность, если аппроксимация конвективных членов имеет недостаточно высокий порядок, а локальное направление потока не совпадает с координатными линиями. В противоположность этому методы, которые приводят к искусственной диффузии только вдоль линий тока [Brooks, Hughes, 1982], весьма эффективны для построения неосциллирующих достаточно точных решений для многих гидродинамических задач.

Поперечная искусственная диффузия подробно изучалась теоретически и экспериментально в работах [de Vahl Davis, 1976; Mallinson, 1976; Raithby, 1976; Griffiths, Mitchell, 1979].-

§ 9.6. Заключение

В этой главе применялись последовательно различные численные методы, рассмотренные в гл. 7 для уравнения диффузии, к линейному уравнению конвекции, стационарному уравнению диффузии и уравнению переноса. Эти уравнения являются модельными различной степени сложности для уравнений (гл. 11), описывающих задачи гидродинамики. Соответствующие методы будут применены в гл. 14-18 к определяющим уравнениям гидроаэродинамики.

При исследовании модельных уравнений основное внимание уделялось тому, как выделить численную дисперсию и диссипа--