цию И ПО ВОЗМОЖНОСТИ ее регулировать. Это особенно важно при использовании алгебраических схем первого порядка точности в тех случаях, когда диффузия либо отсутствует, либо много меньше по порядку величины, чем конвекция. В другой ситуации, когда конвекция преобладет над диффузией, могут возникать нефизические осцилляции, если для дискретизации конвективных членов используется симметричная трехточечная алгебраическая формула на грубой сетке. Однако введение массовых операторов, которые привносят черты конечно-элементного метода, обеспечивает механизм контроля за колебаниями дисперсионного типа. При использовании метода рас-тоепления введенного в § 8.3, массовые операторы оказались полезными при исследовании стационарных и нестационарных многомерных задач.

Альтернативные способы контроля за осцилляциями дисперсионного типа обеспечиваются введением четырехточечной дискретизации против потока для конвективных членов. Этот прием оказывается эффективным, хотя он часто вносит дополнительные диссипативные члены более высокого порядка, которые могут оказаться существенными на грубой сетке. Четырехточечная дискретизация против потока может быть введена и в неявные алгоритмы, но она приводит обычно к четырех-.диагональным системам уравнений, которые могут быть решены с помощью алгоритма Томаса после сведения системы к трехдиагональному виду. Это на 80 % увеличивает машинное время по сравнению с тем, которое затрачивается на решение >самого алгоритма Томаса. Использование четырехточечных схем, кроме того, приводит к необходимости введения дополнительных граничных условий на входе или локального сведения к трехточечной схеме.

Сопоставление различных методов, использованных в данной главе, показывает и сравнительную цену эффективности метода модифицированных уравнений (п. 9.2.2) для построения улучшенных алгоритмов. Поскольку в его основе лежит разложение в ряды Тейлора, этот метод дает информацию только о длинноволновых характеристиках.

Для получения коротковолновых характеристик требуется анализ Фурье (п. 9.2.1), который используется также и при анализе устойчивости по Нейману (§ 4.3). Однако если метод модифицированных уравнений допускает непосредственное обобщение на нелинейные схемы и уравнения, то при использовании анализа Фурье требуется локальная линеаризация, которая может привести к ухудшению эффективности метода для не-.линейных задач гидроаэродинамики (гл. 10, 11 и 14-18).

§ 9.7. Задачи

Одномерное линейное уравнение конвекции (§ 9.1)

9.1. Получите выражение для погрешности аппроксимации, указанной в табл. 9.1 для схемы Лакса - Вендроффа.

9.2. Примените анализ устойчивости по Нейману к схеме Кранка - Николсона (9.22) с массовым оператором и убедитесь в выполнении условия б 0.25 для устойчивости схемы.

9.3. Примените программу TRAN для решения задачи о конвекции синусоидальной волны с помощью схемы Кранка - Николсона с массовым оператором и сравните полученные решения с приведенными на рис. 9.2-9.4.

Численная диссипация и дисперсия (§ 9.2)

9.4. Примените анализ Фурье (п. 9.2.1) к одномерному уравнению конвекции для следующих схем: (1) схемы с разностями против потока, (2) схемы Лакса -Вендроффа, (3) конечно-разностной схемы Кранка - Николсона при С = 0.8 и Ад: = 0.5. Получите результаты, эквивалентные приведенным в табл. 9.9, причем для этого рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ. Проанализируйте решения, показанные на рис. 9.2-9.4,. относительно фурье-разложений.

9.5. Примените метод модифицированных уравнений: (1) к схеме с раз--ностями против потока, (2) к схеме Лакса - Вендроффа, (3) к конечно-разностной схеме Лакса - Вендроффа для анализа одномерного уравнения конвекции и подтвердите результаты, приведенные в табл. 9.1. Сравните расчетные характеристики с анализом Фурье задачи 9.4 и результатами, показанными на рис. 9.2-9.4.

9.6. Постройте обобщенную трехслойную схему, эквивалентную (8.26),. для одномерного уравнения конвекции. Примените метод модифицированного уравнения с произвольными у и р и определите, имеется ли возможность их оптимального выбора для минимизации ошибок, связанных с дисперсией и диссипацией. Внесите изменения в программу TRAN, включив в нее эту задачу, и проверьте ее действие на задаче о конвекции сииусоидаль--ной волны.

Стационарное уравнение конвекции - диффузии (§ 9.3)

9.7. Включите схему центральных разностей (9.45) и схему с разностями против потока (9.50) в программу расчета и подтвердите результаты приведенные на рис. 9.5 и 9.6.

9.8. Проведите расчет по программе, составленной в задаче 9.7 с граничным условием Неймана dTjdx = g при дс = 1.0. Выберите g таким образом, чтобы точное решение было близко к решениям, приведенным на рис. 9.5 и 9.6. Сравните решения с полученными для случая, когда задано граничное условие Дирихле.

9.9. Получите симметричные пятиточечные схемы для dT/dx и dPTjdxy минимизируя ошибку аппроксимации, оставляя в каждом выражении по одному параметру. Примените эту схему к решению конвективного уравнения диффузии с граничным условием Дирихле (9.43). Используйте точное решение (9.44) для получения требуемого граничного условия. Измените подпрограммы BANFAC и BANSOL для решения системы с полученной в результате пятидиагональной матрицей. Полученные решения сравните с приведенными в табл. 9.2 и определите, будет ли выбор двух подходящих параметров приводить к более точным, но устойчивым решениям.

Одномерное уравнение переноса (§ 9.4)

9.10. Примените метод модифицированного уравнения к дискретиза-.циям Лакса - Вендроффа и Кранка - Николсона для одномерного уравнения переноса и подтвердите результаты, приведенные в табл. 9.3.

9.11. Для явной четырехточечной схемы с разностями против потока, т. е. (9.71) с заменой 0.5 (Гу + Гу ) на в пространственном операторе, воспользуйтесь методом модифицированного уравнения для определения оптимальной величины q. Примените анализ устойчивости по Нейману для определения критериев устойчивости. Проведите расчет по программе TRAN с оптимальным q, если схема устойчива, при условиях, данных в табл. 9.6, и сравните полученные результаты.

9.12. Измените программу TRAN, включив в нее трехслойную чисто неявную схему (табл. 9.3). Решите задачу о распространении температурного

-фронта (п. 9.4.3) для повышенных чисел Рейнольдса ячейки и определите эмпирически границу, до которой не появляются осцилляции решения. По-

:вторите все расчеты по схеме Кранка - Николсона с конечными разностями и конечными элементами.

Двумерное уравнение переноса (§ 9.5)

9.13. Примените метод модифицированного уравнения к схеме Кранка - .Николсона с массовым оператором для двумерного уравнения переноса (9.81) и определите оптимальные значения 6 и в (9.86) для минимизации дис-шерсионных ошибок.

9.14. С помощью программы THERM сравните приближенную факТори-:зацию с помощью конечно-разностной схемы AF-FDM, четырехточечной схемы с разностями против потока (AF-4PU) (q = 0.5) и метода конечных

-элементов (AF-FEM) для числа итераций, достаточных для сходимости. Про-.делайте это для трех маршевых алгоритмов: (а) Y = О Р = О- (Ь) Y = О р == 1; (с) Y = 0,5, р = 1 и на сетках 11 X И и 21 Х21.

9.15. На основе табл. 9.12, решения задачи 9.14 и дополнительных решений, полученных из программы THERM, сравните вычислительную эффектив-ность трех методов приближенной факторизации: конечно-разностного метода (AF-FDM), четырехточечной схемы с разностями против потока (AF- 4PU) и метода конечных элементов (AF-FEM).