§ 2.2. Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных

Простейшим примером гиперболического ДУЧП является волновое уравнение

-1-0. (2.48)

При начальных условиях и{Ху 0)= sin ял:, du/dt (х, 0) = 0 и граничных условиях и{0, t)=u{l, t) = 0 уравнение (2.48) имеет точное решение

и (х, t) = sin пх cos nt, (2.49)

Характерной чертой линейных гиперболических ДУЧП является отсутствие затухания.

Уравнение конвекции, рассматриваемое в § 9.1, является линейным гиперболическим ДУЧП. Уравнения, определяющие неустановившееся невязкое течение, являются гиперболическими, но нелинейными, так же как и уравнения, определяющие установившееся сверхзвуковое невязкое течение.

2.2.1. Интерпретация с помошью характеристик

Гиперболические ДУЧП порождают вещественные характеристики. В случае волнового уравнения (2.48) характеристические направления определяются соотношениями dxldt = ±\.

ос-характеристика\ / /З-характеристика Р(ХиЧ)

Рис. 2.4. Характеристики волнового уравнения.

Характеристики, проходящие через точку Р в плоскости {х, t) показаны на рис. 2.4.

Для системы уравнений (2.32), (2.33) имеются две характеристики, определяемые соотношением

UV ( U + V lV2irf V ll

(2.50)

Наклон =А/В

Рис. 2,5. Характеристики для гиперболического ДУЧП первого порядка, уравнение (2.5).

Ясно, что форма характеристик зависит от локального решения, причем в общем случае они будут искривленными [Courant, Friedrichs, 1948].

В случае гиперболического ДУЧП первого порядка (2.5) через каждую точку проходит единственная характеристика dtldx=AIB (рис. 2.5). Если А и В - постоянные, то характеристики представляют собой прямые линии. Если же Л и В являются функциями от щ X VL t, 10 характеристики искривляются. В случае линейного уравнения конвекции, рассматриваемого в § 9.1, отношение В/Л как раз соответствует скорости. В случае трехмерного установившегося невязкого сверхзвукового течения характеристическая поверхность образует конус вокруг местного направления потока, как это показано на рис. 11.14.

Имея дело с гиперболическими ДУЧП, можно воспользоваться характеристическими направлениями для построения расчетной сетки, на которой выполнялись бы условия совместности типа соотношения (2.15). Именно это положено в основу метода характеристик, излагаемого в п. 2.5.1. В силу причин, которые будут обсуждаться в п. 14.2.1, упомянутый метод представляет сейчас в основном исторический интерес.

2.2,2, Интерпретация на физической основе

Как было отмечено выше, гиперболические ДУЧП связаны с такими задачами о распространении, когда диссипация отсутствует. Появление вещественных характеристик, таких, как на рис. 2.4, свидетельствует о том, что возмущение решения и в точке Р может повлиять на поведение решения только в области CPD. И наоборот, решение в точке Р подвержено только влиянию возмущений, идущих из области АРВ.

Кроме того, если начальные условия заданы при = О, т. е. на линии АВ на рис. 2.4, то этих условий достаточно, чтобы единственным образом определить решение в точке Р. Для случая уравнения (2.48) это можно продемонстрировать следующим образом.

Введем новые независимые переменные по формулам

l=x + t, г1 = д:/; (2.51)

тогда из (2.48) получим уравнение

= 0,

(2.52)

д1дц

которое имеет общее решение

и(1,ц) = Гт + §Ы, (2.53)

где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции. Если для уравнения (2.48) решается чистая задача с начальными значениями, то надлежит установить начальные условия

u{x,0) = S{x), {х,0) = Т{х). Можно показать [Ames, 1969], что при t = 0

(2.54)

/(л:) =0.5

gix) = 0.5

S(x) + \T{r)dr

S{x)-\T{r)dr

(2.55)

где С и Z) - постоянные интегрирования. Тогда из представления (2.53) следует, что общее решение уравнения (2.48) с начальными условиями, соответствующими (2.54), имеет вид

x + t

и{х, 0 = 0.5

S{x + t) + S{xt)+ 5 T{r)dr

(2.56)

В частности, если точка Р имеет координаты {XiJi), то решение в этой точке представляется в виде

u{xi, /,) = 0.5

5(x, + i) + 5(x,-,)+ \ T{r)dr

(2.57)

т. е. решение в точке Р однозначно определяется начальными условиями, заданными на линии Л5 (рис. 2.4).

Для гиперболических уравнений не существует диссипатив-ного (или сглаживающего) механизма. Отсюда следует, что если начальные (или граничные) данные содержат разрывы, то эти разрывы вдоль характеристик будут передаваться во внутреннюю область без размывания, если только уравнения линейны. Это согласуется с результатом, отмеченным в п. 2.1.3 и гласящим, что разрывы нормальных производных могут возникать только при пересечении характеристик.