Вышеупомянутые особенности делают уравнение Бюргерса очень подходящей моделью для проверки работы вычислительных алгоритмов для описания таких течений, где предвидятся либо очень большие градиенты, либо ударные волны. Роль этого уравнения как средства для протерки действия вычислительных алгоритмов облегчается за счет применения преобразования Коула -Хопфа [Cole, 1951; Hopf, 1950], позволяющего строить точные решения уравнения Бюргерса для многих комбинаций начальных и граничных условий. Примеры использования уравнения Бюргерса с такими целями приводятся

Рис. 10.2. Эволюция решения уравнения Бюргерса (10.1).

в работе [Fletcher, 1983а]. В п. 10.1.4 с помощью уравнения Бюргерса демонстрируются различные вычислительные алгоритмы для расчета течений с преобладающим влиянием конвекции.

Существует альтернативный подход к обращению с нелинейным конвективным членом. Он требует, чтобы уравнение (10.1) было переписано в консервативной, или дивергентной, форме

дй j dF

дЧ

(10.3)

где F = 0.5iZ2. Группы членов наподобие F естественным образом возникают при выводе уравнений, определяющих течение жидкости (п. 11.2.1), и нередко подвергаются прямому моделированию в вычислительных алгоритмах, особенно при исследовании течения сжимаемой жидкости (§ 14.2 и 18.3). Та же идея используется и при формулировке группового метода конечных элементов (§ 10.3).

Наличие нелинейного конвективного члена в уравнении (10.2) способствует также вознкновению побочного эффекта

(aliasing). Если начальное условие й{х, 0), относящееся к (10.2), разлагается по соответствующим компонентам Фурье, как это было сделано при выводе уравнения (9.30), то последующая эволюция решения, определяемого уравнением (10.2), приведет к быстрому расширению спектра длин волн с заметными амплитудами, реализуемому через посредство произведений компонент Фурье, появляющихся из-за наличия нелинейного члена йдй/дх.

Когда решение строится на сетке с размером ячейки Ajc, наименьшая длина волны, которую можно различить, равна 2Дл:. Энергия, связанная с волнами, длина которых меньше 2Дл:, выявляется в связи с волнами большой длины. Это явление называется побочным эффектом [Hamming, 1973]. К сожалению, коротковолновые вклады в решение, подвергнутые побочному эффекту, искажают истинный характер длинноволновой части решения и даже могут привести к неустойчивости (которую называют нелинейной неустойчивостью) в тех случаях, когда интегрирование уравнений проводится на очень больших интервалах времени, как, например, при численной реализации прогноза погоды.

Следует напомнить (§ 9.2), что при наличии любого вида диссипации - физической или численной - амплитуда коротковолновой части решения весьма существенно уменьшается; в этом случае ошибки, порождаемые побочным эффектом, оказываются минимальными. Именно такая ситуация складывается для большинства инженерных задач гидроаэродинамики, когда, как правило, имеет место физическая диссипация. Однако многие классы геофизической гидродинамики характеризуются конвекцией волновых пакетов при очень малой физической диссипации или ее отсутствии. В этих условиях побочный эффект, а также нелинейная неустойчивость, может представлять серьезную проблему.

10.1.2. Явные схемы

Конечно-разностное представление уравнения (10.1) в соответствии со схемой ВВЦП имеет вид

-At-+-Ш----= О- (lO-)

Дополнительный множитель у конвективного члена представляет собой локальное решение в узле (/, п). Это решение имеется в нашем распоряжении, а поэтому различные схемы (например, схема Дюфорта - Франкела и др.), предложенные

ДЛЯ решения линейного уравнения переноса (§ 9.4), могут быть применены и к решению уравнения Бюргерса.

Представления об ошибке аппроксимации и о модифицированном уравнении также могут быть распространены на нелинейные уравнения типа уравнения Бюргерса. При применении анализа устойчивости по Нейману дополнительный множитель у конвективного члена временно замораживается, так как анализ устойчивости, строго говоря, применим только

Re=10

Рис. 10.3. Точное решение уравнения Бюргерса.

К линейным уравнениям. Несмотря на то что применение анализа по Нейману к нелинейным уравнениям не поддается строгому обоснованию, выяснилось, что на практике такой анализ эффективен.

Вполне очевидный вариант применения схемы ВВЦП к уравнению (10.3), эквивалентный (10.4), принимает вид

~ + -ш---~-

(10.5)

Алгоритм, составленный на основе (10.5), является составной частью программы BURG (рис. 10.4) для случая ME = 1.

Потенциально более точная модель конвективного члена строится с помощью четырехточечной дискретизации со сдвигом вверх по потоку. Такая модель применялась к эквивалентному линейному конвективному члену в п. 9.3.2 и 9.4.3. Четырехточечная дискретизация дР/дх со сдвигом вверх по потоку вводится посредством замены (f/+i - -i)/2Aa: в уравнении

28 К. Флетчер, т. 1