Ft = F] + М [If -f 0.5 Af [J. -f ... Ft=Fl + AAut+0{M%

где A = [dFldu\i +Ui применительно к уравнению (10.3). В результате схему (10.16) можно превратить в следующий трех-диагональный алгоритм:

= - 0.5L. W + ul ЛыГ) + 0.5vL.. ( ? + и? ) (ЮЛ?)

иТ + 0.5 Д \и {u]ut) - vLxxut] =и] + 0.5v MLxxuf. (10.18)

В процессе вывода формулы (10.18) член LxFf сократился. Будучи преобразованным к трехдиагональной форме, соотношение (10.18) может быть записано в виде

autl + ЬиГ + cfunl = dl (10.19)

d} = - 0.25 {MlАх) uU - 0.55,

c?=0.25t %i-0.55,

df = 0.5swi + (1 - 5) ul + O.SsuU и 5 = V AtJAx\

Очевидно, коэффициенты a] и с] являются функциями и поэтому на каждом шаге по времени должны вычисляться заново. Однако форма соотношения (10.19) позволяет осуществить непосредственное использование алгоритма Томаса (п. 6.2.2).

Неявная схема (10.18) имеет ошибку аппроксимации порядка 0{Aty Ах) и является безусловно устойчивой в смысле Неймана. Линеаризованная схема Кранка - Николсона (10.17) может быть обобщена так, чтобы включить в нее массовые one-

решения Наличие неявного нелинейного члена ста-

вит при этом серьезную проблему.

Указанную проблему можно, однако, разрешить таким же путем, который использовался при введении поправки к решению ДГ/ \ когда рассматривались схемы расщепления (§ 8.2). А именно, проводится разложение F в ряд Тейлора в окрестности п-го временного слоя. Тогда

ejUj-2 +afUf-i +bfUf + CjUf+i =djy (10.21>

q M n

= 6-AT /-2

a} = - (0.25 + 0.5?) LuU + f>- 0.5s,

6 =I+0.59t/?-26-fs,

(0.25-1)1 + 6-0.55, df={6 + 0.5s) Ui-x + (1 - 26 - 5) + (6 + 0.5s) uj+x.

Четырехдиагональная система уравнений (10.21) может решаться с помощью обобщенного алгоритма Томаса (п. 6.2.4). На практике четырехдиагональная система (10.21) сводится к трехдиагональной форме (строки 134-144 на рис. 10.4), после чего подпрограммы BANFAC и BANSOL применяются обычным способом. Обобщенный алгоритм Кранка - Николсона (10.21) включается в программу BURG при условии, что ME = 4 или больше.

Устойчивые решения системы (10.21) получаются при б 0.25 и 9 0. Как можно было ожидать на основании изложенного в п. 9.4.3, выбор специальных значений б и ? будет уменьшать колебания, связанные с дисперсией. Этот вопрос затрагивается в п. 10.1.4.

10.1.4. BURG: сравнение численных результатов

В данном пункте различные явные (п. 10.1.2) и неявные (п. 10.1.3) схемы будут применены к решению задачи о распространении ударной волны, процесс которого определяется

раторы и четырехточечную дискретизацию конвективного члена со сдвигом вверх по потоку (п. 9.4.3). Следуя (9.69) и (9.71) обобщенный вариант дискретизации уравнения (10.3) по схеме Кранка - Николсона записывают в виде

Мх (-J = - 0.5L + uf АиГ) + 0.5vL.. (t/? -f иГ%

(10.20>

где Му = {Ь, 1-26, б}, а LxF определяется формулой (10.6) при положительном и. Ошибка аппроксимации для схемы (10.20) имеет порядок 0{At, Дл:). В четырехдиагональной форме представление (10.20) сводится к соотношению

й= J [(jC-g)/]e-0-5ReGrfg / J -0.5ReGrfg (10.24)

- оо - оо

G (g; JC, О = S Щ (Г) dr + и Re = 1/v.

Выражение (10.24) представлено на рис. 10.3 в форме графиков для двух значений Re. При использовании выражения (10.24) в качестве точного решения необходимо ввести ограничения на время и на наименьшее значение Re таким образом, чтобы граничные условия (10.23) были совместимы с точным решением.

Различные схемы, описанные в п. 10.1.2 и 10.1.3, включаются в программу BURG (рис. 10.4), причем реализация той или иной схемы осуществляется в зависимости от значения параметра МЕ в соответствии с табл. 10.1. Выбор параметров =1/6, q = 0 дает схему Кранка - Николсона, соответствующую групповому методу конечных элементов. Введение формулировки, связанной с этим методом (§ 10.3), необходимо для осуществления явной дискретизации независимой переменной F. Для построения решений уравнения (10.3) с малыми значения-тли вязкости V желательно ввести в правую часть соотношения (10.16) некий член с искусственной диссипацией; т. е. добавляется следующее выражение:

После линеаризации LxxF модифицированный вариант соотношения (10.20) представляется в форме

МхиГ + 0.5 Л/ ЫиГ) - vLxxut - va MLxx {uluT)] =

= МхЩ + 0.5v MLxxu]. (10.25)

ВЯЗКИМ уравнением Бюргерса (10.3). При = 0 ударная волна находится в точке х = 0. Начальные условия имеют вид

щ{х) = й{х, 0)=1.0 при -шах<<0, ио{х) = й{х,0) = 0 при 0<;c<w

Следующие граничные условия задаются при х = ±Хтах:

й(-шах, 0=1.0, й(;сзх, 0 = 0. (10.23)

При указанной комбинации начальных и граничных условий уравнение (10.3) имеет точное решение, представляемое в виде