нейный характер уравнения (10.3) приводит к появлению многих добавочных произведений, не укладывающихся в рамки дисперсионно-диссипативного образца, фигурирующего в п. 9.2.2. Если построить эквивалентную линейную схему за счет локального замораживания нелинейных коэффициентов, то получаются следующие оптимальные значения коэффициентов 8 и q:

1 (Mu,./Axf opt - 5 Г

?opt = 0.5 +

(10.26) (10.27)

Очевидно, эти значения представляют собой естественное обобщение оптимальных значений, полученных в п. 9.4.3 для тем-

H-CN-FDM OCN-4PU ❖ CN-MO

- точное решение

-1.0

Рис. 10.8. Распределение скорости при t = 2.00 и Rceu = ЮО. Обозначения

см. в табл. 10.1.

пературного фронта с конвекцией. Однако использование значений (10.26) или (10.27) в данном случае не является столь же успешным, как в п. 9.4.3, преимущественно в силу влияния добавочных нелинейных членов, присутствие которых не отражено в нашем анализе.

На основании изложенного здесь была принята альтернативная стратегия. Она сводится к эмпирическому выбору б и 9, а также к введению достаточно интенсивной искусственной диссипации, способной ликвидировать большую часть ряби без размазывания ударного фронта по чрезмерно большому числу узловых точек. Результаты, приводимые в табл. 10.5 и на

29 к. Флетчер, т.

рис. 10.8, свидетельствуют об успехе этой стратегии и о том, что даже конечно-разностная схема Кранка - Николсона дает достаточно точные результаты при условии разумного применения искусственной диссипации.

Однако рассматриваемый пример является весьма подходящим для использования искусственной диссипации, так как точное решение дает постоянство повсюду, кроме ударной волны. Следовательно, большое значение Va в соотношении (10.25) не влияет на решение нигде, кроме ближайшей окрестности ударной волны. Более разумный прием исследования состоит в том, чтобы сделать Va функцией решения, принимающей существенно отличное от нуля значение только вблизи ударной волны. Этот прием обсуждается в п. 14.2.3.

Расчет одномерного уравнения Бюргерса применительно к внутреннему слою, подобному ударной волне (т. е. тонкому), может быть проведен с помощью спектральных методов (§ 5.6). Непосредственное применение спектрального метода Галёркина приводит к решению, обнаруживающему глобальные колебания для случая девятичленного решения с полиномами Ле-жандра при v = 0.01 [Fletcher, 1984]. В работе [Basdevant et al., 1986] построены решения при v = 0.01/n с использованием спектрального тау-метода и метода коллокаций (псевдоспектрального, см. п. 5.6.3) на основе полиномов Чебышёва. Установлено, что без применения преобразования координат следует использовать 256 точек коллокаций и тем самым избежать появления решений колебательного типа. Делается вывод о том, что спектральные методы в силу их глобального характера не столь хорошо пригодны для расчета тонких внутренних слоев, как локальные методы типа метода конечных разностей или метода конечных элементов.

10. L5. Неравномерная сетка

Когда во внутренней области течения или вблизи границ возникают очень большие градиенты, то для получения более точных решений требуется измельчение расчетной сетки. Однако если сетка остается равномерной во всей вычислительной области, то измельчение сетки может оказаться неэкономичным с точки зрения стоимости вычислений, в особенности для многомерных задач.

Очевидная альтернатива состоит в том, чтобы ввести сетку, измельчаемую только на тех участках вычислительной области, где ожидается появление резких градиентов. Техника построения подобного рода сеток обсуждается в гл. 13. Здесь мы изучим вопрос о применении неравномерных сеток к решению од-

Дх? dh САхЛ dT 1 , ,

где коэффициент Гх выражается согласно (10.29) и где Axj = = Xj - Xf-i. Это представление имеет второй порядок, однако вносит добавочную ошибку третьего порядка, исчезающую в случае равномерной сетки {гх = 1.0).

Применение к уравнению (10.28) метода Галёркина с конечными элементами и с линейной интерполяцией (см. п. 5.3.1) приводит к трехточечному представлению dT/dx. Разложение в ряд Тейлора для комплекса, соответствующего конечно-

номерных стационарных задач, в первую очередь ставя своей целью противопоставить ожидаемое улучшение точности решения благодаря локальному измельчению сетки возможному снижению порядка ошибки аппроксимации. Уравнение конвекции - диффузии (§ 9.3)

- # = 0 (10.28)

в котором и и а - постоянные, а граничные условия имеют вид f(0) = 0, f(1)= 1, при больших значениях и/а порождает очень большой градиент вблизи точки х= 1 (рис. 9.5).

Локальное измельчение сетки вблизи х = 1 может быть осуществлено за счет того, что размер ячейки изменяется по закону геометрической прогрессии. Иначе говоря,

- Xj = (Xj - Xi x) = rAXf, (10.29)

где Гх - коэффициент изменения сетки. Для конкретного примера, показанного на рис. 9.5, значение Гх меньше единицы, что как раз и требуется, если желательно расположить больше узловых точек вблизи границы jc = 1.0. Как правило, значение Гх сохраняется постоянным либо во всей вычислительной области, либо в ее большей части.

Трехточечное представление производной dT/dx общего вида для случая неравномерной сетки, приводящее к наименьшей ошибке аппроксимации, может быть построено с помощью методики, описанной в п. 3.2.2. Разложение в ряд Тейлора всех компонент этой трехточечной дискретной формулы в окрестности точки Xj дает

(?/+1-/)Л + И?/-/-1)