элементному трехточечному представлению dTjdx, имеет вид

1ЛЛ1 и 1

dT Ах] 4 + 1

dx +

(10.31

При таком представлении возникает диссипативный член пер вого порядка, знак которого зависит от того, возрастает или уменьшается размер ячейки сетки по направлению положи тельного отсчета х. Очевидно, если величины {Гх-\) или Дл:/ не малы, то влияние этого диссипативного члена при больших значениях uja может быть существенным, если сравнивать его с влиянием члена adT/dx в уравнении (10.28).

Трехточечное представление dT/dx в (10.28), минимизирующее ошибку аппроксимации, соответствует следующей форме разложения в ряд Тейлора в окрестности точки Xji

--<-Ч((г4ч-)-

L dx

I AXf dT

F+(r.-l) +

Ал:? rl+\

12 rx+\

(10.32)

Левая часть формулы (10.32) является также и результатом линейной галёркинской конечно-элементной дискретизации производной dT/dx. Очевидно, что применение неравномерной сетки ведет к появлению ошибки аппроксимации первого порядка.

Подстановка левых частей формул (10.30) и (10.32) в уравнение (10.28) приводит к следующей трехдиагональной схеме:

-(0.5/?сеПГх+1)Гу 1 +

0.5/?cell

0-5celI

-TzJii-- (10.33)

Подстановка левых частей (10.31) и (10.32) в то же уравнение приводит к несколько более простой трехдиагональной схеме

- (0.5/?eeIl + 1) + (1 + J) Г; + (0.5/?eell ) Г/, = О,

(10.34)

где Rcew = uAxf/a. Решения, построенные на основе схем (10.33) и (10.34), были получены при и/а = 20 и 11 точках внутри интервала О jc 1 и приводятся в табл. 10.6 и 10.7.

В случае равномерной сетки, когда Гх = 1, число Рейнольдса ячейки Rceu = 2; этот случай графически изображен на рис. 9.5.

Таблица 10.6. Изменение среднеквадратичной ошибки в зависимости от Гх для решений уравнения (10.28) при и/а = 20

Таблица 10.7. Решения уравнения (10.28) с использованием неравномерной сетки, Гх = 0.8, и/а = 20

В данном случае среднеквадратичная ошибка определяется преимущественно локальными ошибками у узловых точек, близких к х=1. Мы видим, что уменьшение Гх уменьшает среднеквадратичную ошибку (табл. 10.6), причем решения по схеме (10.34) оказываются значительно точнее, чем по схеме (10.33). В силу того что Гх < 1.0, использование схемы (10.34) вносит положительную диссипацию. При использовании схемы (10.33) выбор значения Г;с = 0.80 приводит к минимальной среднеквадратичной ошибке решения. Это соответствует относительно однородному распределению ошибки (табл. 10.7). При коэффициентах изменения Гд; < 0.80 вблизи точки х = 1.0 локальная ошибка решения уменьшается, однако она возрастает при малых значениях х. Отметим, что для более сложных определяющих уравнений и многомерных задач надлежащие значения коэффициента изменения сетки обычно попадают в интервал 0.8 Г;: 1.2.

Использование неравномерной сетки при наличии большого внутреннего градиента может быть проиллюстрировано на

Примере использования модифицированной формы уравнения Бюргерса

-f- + ( -O.5)-v0 = O. (10.35)

В сравнении с уравнением (10.1) сюда был введен дополнительный член, -0.5дй/дх. При начальном и граничных условиях в форме (10.22) и (10.23) включение добавочного члена эквивалентно допущению о миграции сетки вместе с ударной волной, в результате которого ударная волна не движется по отношению к сетке. В силу указанных свойств уравнение (10.35) имеет исключительно простое стационарное решение

u,s = 0.5 [l - th ()]. (10.36)

Уменьшение v приводит к обострению градиента, центрированного в точке х = 0. Уравнение (10.35) можно записать в консервативной форме

где F = 0.5(w2 -й). После проведения дискретизации получим

= ( ? + А г ) - Lx {f? + Д г). (10.38)

где Lxx и Lx определяются формой левых частей (10.32), (10.30) и (10.31), adF/du = u - 0.5.

Применение представления (10.31) к дР/дх является примером формулировки на основе группового метода конечных элементов (§ 10.3), так как F представляет собой нелинейную группу. Мы получаем следующую трехдиагональную систему уравнений относительно

{l+At[Lx{u-0.5)vLxx]}Au} = At{vLxxul-LxFfl (10.39)

Процесс интегрирования уравнения (10.39) приближается до тех пор, пока величина Аи не станет пренебрежимо малой в сравнении с решением уравнения {vLxxUj - LxFj) = 0.

Для ударной волны, центрированной в точке л: = О, удобно ввести сетку, размер ячейки которой возрастает по закону геометрической прогрессии как в положительном, так и в отрицательном направлениях оси х, если отсчитывать от точки х = 0. Решения, построенные на основе (10.30) и (10.31) для v = 0.08 и И точек внутри интервала -Хтах х Хтах, приводятся в табл. 10. 8 и 10.9. Для случая Гх = 1.0 решения, соответствующие Rcen = 5, основаны на условии w(l)= 1.0.