Таблица 10.8. Изменение среднеквадратичной ошибки в зависимости от Гх для решения уравнения (10.39) при v = 0.008

Таблица 10.9. Решения уравнения (10.39) с использованием неравномерной сетки при гх=1.3 и v = 0.08

Ошибки, приводимые в табл. 10.8, указывают на то, что использование дискретизации для дР/дх в соответствии с левой частью формулы (10.30) способствует уменьшению точности с увеличением Гх. В противоположность этому использование формулы (10.31) вызывает уменьшение среднеквадратичной ошибки при достаточно больших Гх. Однако повышение точности при этом не слишком велико. При Гх = 1.3 оба упомянутых решения сравниваются с точным решением в табл. 10.9. При X = 0.0 оба решения точны, а наиболее заметные вклады в среднеквадратичную ошибку приходят из четырех точек: jc = ±0.221, ±0.509.

Для применения метода неравномерных сеток к реальным задачам о течении жидкости обычно необходимо провести большое число численных экспериментов с целью наилучшего выбора коэффициента изменения сетки г, а также и схемы дискретизации. При решении нестационарных задач с большими

§ 10.2. Системы уравнений

Материал, изложенный в § 10.1 ив предшествующих главах, относится к случаю существования единственного определяющего уравнения. Однако гидроаэродинамические явления обычно описываются посредством систем уравнений (гл. 11). Исключением является течение невязкой несжимаемой жидкости, описываемое уравнением Лапласа (§ 11.3). Цель данного параграфа состоит в том, чтобы рассмотреть систему определяющих уравнений и применить к ней типовые приемы дискретизации, которые ранее уже применялись к случаю одного определяющего уравнения.

Одномерное неустановившееся течение невязкой сжимаемой жидкости определяется системой из трех уравнений: неразрывности (п. 11.2.1), импульсов в направлении х (п. 11.2.2) и энергии (п. 11.2.4). После введения подходящих безразмерных переменных (п. 14.2.3) система уравнений может быть записана в форме

(10.40)

dt дх

V Y(Y-l)

+ 0.5pi/2

9U +

V(y + 0.5pt/2)t/y

. (10.41)

В (10.41) p - плотность, и - скорость, p - давление, у -- отношение удельных теплоемкостей.

местными градиентами может оказаться необходимым ввести сетку, адаптирующуюся к локальному решению. Иначе говоря, область локального измельчения сетки может изменяться во времени. Подобного рода методы введения адаптивных сеток [Thompson, 1984; Thompson et al., 1985] находятся за пределами данной книги.

Введение неравномерных сеток может потребоваться также и там, где вычислительная граница не совпадает с локальным характером сетки. В работе [Noye, 1983] предлагается обзор традиционных приемов разрешения подобных ситуаций. Более совершенный подход к решению задач с нерегулярными границами связан с использованием обобщенных криволинейных координат (гл. 12), при введении которых вычислительная граница автоматически совпадает с сеточной линией.

§ 10.2. Системы уравнений 457

Хотя зависимыми переменными являются р, w и р, дискретизация применяется непосредственно по отношению к q и F. Это будет проиллюстрировано здесь применительно к двух-этапной схеме Лакса - Вендроффа (10.11), (10.12). В применении к уравнению (10.40) при этом получим

q;+./2 = 0.5(q? + q;+,) -0.5-(F,-F; ), (10.42)

ЧГ = Я?- (F; ,-F; ). (10.43)

На каждом этапе построения решения величины р, w и р вычисляются по выражениям (10.41) для q, так что можно найти и компоненты F.

В работе [Klopfer, McRae, 1983] используется подход с помощью модифицированного уравнения, ставящий целью корректировку основной (дисперсионной) ошибки в результате применения схемы Лакса - Вендроффа к решению уравнений Эйлера (10.40), моделирующих одномерную задачу об ударной трубе (задача 14.8). Полученная авторами схема является более точной, ее решения имеют меньшую тенденцию к колебаниям, но, как правило, для обеспечения устойчивости этой схемы требуется задавать весьма малые значения Дтах.

Для решения систем уравнений можно строить и неявные схемы. Так, например, схема Кранка - Николсона в применении к уравнению (10.40) будет иметь вид

- q = - 0.25-f l(F, - F? ,) + {РП1 - F?l)]- (10.44)

Чтобы получить линейную систему алгебраических уравнений для Aq+ нелинейные члены F разлагаются в ряды типа

F +i = F + AAq+-f (10.45)

где A{=dFd/q) представляет собой матрицу 3X3, вычисляемую с помощью (10.41). Конкретную форму матрицы А можно получить из соотношения (14.99). После подстановки (10.45) в (10.44) и перегруппировки членов получим

= -0.5(Fi-FO. (10.46)

Уравнение (10.46) представляет собой блочно-трехдиагональ-ную систему размерности 3X3 относительно Дqy, которую можно решать с помощью блочного варианта алгоритма