Здесь следует подчеркнуть, что если рассматриваются уравнения, определяющие сверхзвуковое невязкое течение и являющиеся гиперболическими, то для согласования с тезисом об изэнтропичности течения разрывы должны быть слабыми.. При сверхзвуковом невязком изэнтропическом течении определяющие уравнения (2.32) и (2.33) порождают характеристические направления, заданные соотношением (2.50). Если решение таково, что характеристики сливаются вместе, то результатом будет неединственное решение [Whitham, 1974]; на практике при этом возникает ударная волна. Однако при переходе через ударную волну имеет место изменение энтропии, а это противоречит допущению об изэнтропичности течения, на котором основано использование уравнений (2.32) и (2.33). Поэтому ударная волна образует границу (внутреннюю или внешнюю) той области, в которой справедливы уравнения (2.32) и (2.33).

2.2.3, Надлежащие граничные (и начальные) условия

В п. 2.2.2 было отмечено, что в случае волнового уравнения (2.48) начальные условия (2.54) оказываются пригодными и в зависимости от протяженности участка АВ будут единственным образом определять решение в области АРВ (рис. 2.4). Имеется также возможность введения граничных условий (см. п. 2.1.2), которые могут быть заданы, например, на линиях CD и EF на схеме рис. 2.8.

Здесь мы заново рассмотрим уравнения (2.22) и (2.23),. так как эти уравнения непосредственно применимы к описанию сверхзвукового невязкого течения (при соответствующем выборе коэффициентов Ли и т. д.), зададимся вопросом, как надлежащим образом следует подобрать вспомогательные условия, чтобы иметь возможность получить единственное решение уравнений (2.22) и (2.23). Характеристические направления, соответствующие эквиваленту уравнения (2.50), будут в дальнейшем называться характеристиками аир. Вначале будут рассмотрены три случая, показанные на рис. 2.6.

Случай, показанный на рис. 2.6(a), эквивалентен тому, что было показано на рис. 2.4. Это означает, что данные относительно значений и и v яз. кривой АВ, отличной от характеристики, будут единственным образом определять решение вплоть до точки Р, В случае, показанном на рис. 2.6(b), кривая АВ не является характеристикой, однако AD является характеристикой р. В этом случае значения и или v должны быть заданы на одной из кривых, а на другой - соответственно v или и. Следовательно, в точке Л известны и а, и у. Аналогичная

13-характеристик и

ОГ-хар?ктеристики

А Заданы и и I/-Случай (а)

а-характеристики

/З-характеристики

{0( -характеристи ки

Рис. 2.6. Конкретизация вспомогательных данных для уравнений (2.22) и (2.23) в случае их гиперболичности.

Заданы

и или V .,

/ \ /

Заданы fy и I/

Рис. 2.7. Граничные условия для уравнений (2.22) и (2.23) в нестационарно!

интерпретации.

на линии АС, а частично - начальными условиями на ЛВ; при этом предполагается, что определяющие ДУЧП являются гиперболическими. Надлежащими вспомогательными условиями для этого случая будут задание и и v яг линии АВ и задание V или и на линии АС,

Эти два примера, показанные на рис. 2.6 и 2.7, иллюстрируют общее правило для гиперболических ДУЧП, состоящее в том, что число вспомогательных условий равно числу характеристик, направленных внутрь рассматриваемой области [Whitham, 1974]. Выбор направления вдоль характеристики должен быть сделан в соответствии с определенными правилами. Для задач с зависимостью от времени положительным направлением будет направление роста времени. Для многомерных гиперболических задач об установившемся течении, сформулцрованных в примитивных переменных, одна из характеристик ( ассоциированная с уравнением неразрывности) совпадает с локальной линией тока. Таким образом, посредством граничной точки эта характеристика определяет свое положительное направление и указывает положительное направление для других характеристик, проходящих через ту же точку.

ситуация имеет место в случае, показанном на рис. 2.6(c), за исключением того, что здесь и АВ, и AD являются характеристическими кривыми.

Уравнения (2.22) и (2.23) могут интерпретироваться как соответствующие неустановившемуся течению, если только у заменить на t. Если рассмотреть (рис. 2.7) вычислительную область л: О и О, то видно, что решение в точке Я, близкой к границе л: = О, частично определяется граничными условиями