Томаса (п. 6.2.5). Размерность блока 3X3 является прямым следствием числа определяющих уравнений в каждой узловой точке. Если из уравнений (10.46) получить AqJ* S то решение после дг-го шага по времени вычисляется по формуле 4/* * = 4] +

Устойчивость дискретизированной схемы, например (10.46), может быть определена с помощью анализа по Нейману (§ 4.3) так же, как это делается для скалярных уравнении. Учитывая, что анализ по Нейману применим только для линейных уравнений, целесообразно линеаризовать уравнение (10.40) до дискретизации. Это значит, что получится уравнение

ii4.A- = 0 dt дх

где k = d?/dq, как и было в формуле (10.45). Анализ устойчивости по Нейману проводится согласно процедуре, описанной в п. 4.3.4, если не считать того, что вместо коэффициента усиления G, как в (4.33), будет фигурировать матрица усиления G. Дл? случая схемы Кранка - Николсона (10.46) результат имеет вид

G = (l-f 0.5/-А sin е) (l - 0.5/-~f А sin в) . (10.47)

Если собственные значения матрицы G обозначить через %т, то для устойчивости требуется, чтобы было А.т 1.0 при любых т. Устойчивость будет зависеть от локальной величины собственных значений матрицы А в (14.32). Если отвлечься от появления матрицы Якоби А, структура выражения (10.47) оказывается весьма похожей на то, что было при применении схемы Кранка - Николсона к линейному уравнению конвекции (табл. 9.1).

Система уравнений (10.40) более подробно рассматривается в п. 14.2.3, гДе программа SHOCK формируется на основе двухэтапной схемы Лакса - Вендроффа (10.42), (10.43) и схемы Мак-Кормака (14.49), (14.50). Типовое решение распространяющейся ударной волны показано на рис. 10.9 после 25 шагов по времени. Решение было построено с помощью равномерной сетки Ajc = 0.01 в интервале О л: 1.0. В момент / = О ударная волна располагается в точке х = 0.5; в последующие моменты времени она распространяется вправо с безразмерной скоростью ударного фронта, равной 1.195.

В уравнение (10.40) вводилась искусственная диссипация с целью получения более гладкого решения. Форма членов с искусственной диссипацией приводится в формуле (14.53). Гру-

бо говоря, это получается аналогично тому, как было при добавлении некоего члена к одномерному уравнению Бюргерса (10.3) с тем, чтобы получить уравнение (10.25). Однако величина V, являющаяся эквивалентом va в (10.25), представляет собой функцию локального решения, так что она имеет сколь-нибудь ощутимое значение лишь на ударной волне.

о Лаке-Вендрофф (искусственная вязкость) - точное решение

Рис. 10.9. Профиль распространяющейся ударной волны при P2IP1 = 1.5,

Y= 1.4, v = 2 в (14.53).

Сравнивая результаты, показаные на рис. 10.9, с результатами рис. 10.8, мы убеждаемся, что расчетный профиль ударной волны для реального определяющего уравнения является менее крутым, чем для одномерного уравнения Бюргерса. Отчасти это связано с относительной сложностью реальных уравнений, а отчасти отражает сравнительную точность схем Лакса - Вендроффа и Кранка - Николсона.

§ 10.3. Групповой метод конечных элементов

Метод конечных элементов был применен к задаче Штурма - Лиувилля в § 5.4, к одномерному уравнению диффузии - в п. 5.5.1, к двумерному уравнению диффузии -в § 8.3 и к двумерному уравнению переноса - в п. 9.5.2. Во всех этих случаях определяющие уравнения были линейными.

Однако определяющие уравнения гйдроаэродинамики (гл. 11) содержат, как правило, нелинейные конвективные члены. В примитивных переменных эти конвективные члены обладают квадратичной нелинейностью в случае течения несжимаемой жидкости и кубической нелинейностью для сжимаемого потока.

Обычный метод конечных элементов связан с введением отдельного приближенного решения типа (5.44) для каждой зависимой переменной, фигурирующей в определяющем уравнении. В случае применения метода Галёркина получаются многочисленные произведения узловых значений зависимых переменных, особенно большое число которых происходит от нелинейных конвективных членов. Эта особенность является одной из причин недостаточной экономичности метода конечных элементов в применении к многомерным задачам [Fletcher, 1984].

Однако вклад в неэкономичность, который вносят нелинейные члены, можно аннулировать за счет введения группового варианта метода конечных элементов [Fletcher, 1983b]. Этот групповой вариант может применяться к решению любых нелинейных задач, однако он особенно эффективен по отношению к нелинейностям конвективного происхождения.

Формулировка группового варианта требует осуществления двух шагов;

1) уравнения приводятся к консервативной форме, как, например, уравнение (10.3);

2) одно и то же приближенное решение вводится для группы членов под знаком дифференцирования, например для F в уравнении (10.3).

10.3J, Формулировка одномерного группового варианта

Применение группового метода конечных элементов будет проиллюстрировано на примере одномерного уравнения Бюргерса, представленного в консервативной форме (10.3). Отдельные прибяиженные решения, эквивалентные (5.44), вводятся для uvlFb уравнении (10.3) в виде

= S tm и Р=Ти iFi, (10.48)

где через Fi обозначается значение F в /-м узле. Подстановка в (10.3) и вычисление интеграла (5.5) от невязки, взятой с весовой функцией Галёркина, приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае равномерной сетки эта система записывается в виде

гдеМ, = (, 4, -), L, = {-1,0, 1}/2A;chL = {1,-~2, 1}/А;с2. При этом предполагается, что интерполяционные функции ff>i в формулах (10.48) являются линейными. Если дискретизация по времени соответствует схеме Кранка - Николсона, то соот-