ношение (10.49) дает алгоритм по схеме (10.20) при 6=1/6 и q = 0.

Если в выражение LxFj подставить зависимость Fj от uj, то результат принимает вид

LFf = 0.5 {Uf , + Uf ) {ii±il}.

(10.50)

Применение обычного метода конечных элементов к уравнению (10.1) приводит к следующей дискретной форме конвективного члена:

Дискретизация линейнвх членов ди/дх и ди/дх дает тот же результат, что и в (10.49).

-1.0

Рис. 10.10. Сравнение результатов применения обычного и группового методов конечных элементов к решению одномерного уравнения Бюргерса при t = 2.0. CN-FEM (С)-схема Кранка - Николсона для обычного метода конечных элементов; CN-FEM(G) - схема Кранка - Николсона для группового метода

конечных элементов.

Дискретная форма представления, к которой приводит обычный метод конечных элементов, сочеталась с разностной формой Кранка - Николсона для моделирования производной повремени, и полученное на такой основе решение одномерного уравнения Бюргерса обозначается на рис. 10.10 как CN-FEM (С). Групповой вариант метода конечных элементов включается в программу расчета в форме соотношения (10.20) при 6= 1/6 и q = 0. Соответствующее решение обозначается на рис. 10.10 как CN-FEM(G).

f+ f+ f-Ч# + 1р-)--0. (10.52)

q = {w, и}, F = {u uv}, 0 = {uv,

]. (10.53)

Наряду с приближенными решениями для и и v теперь вводятся добавочные приближенные решения для групп и, uv, у2 и для составляющих вектора S. Типовое приближенное решение (в случае применения прямоугольных элементов) имеет вид

uv=Z{uv)tфt{h л), (10.54)

где ф1{1, г)-билинейные интерполяционные функции (5.59), Член {uv)i представляет собой значение комплекса uv в 1-ы узле.

Решения, показанные на рис. 10.10, основаны на данных для 41 узловой точки, разделенных одинаковыми пространственными интервалами в интервале -2.0 JC 2.0, и соответствуют граничным и начальным условиям, рассмотренным в п. 10.1.4. Число Рейнольдса ячейки ceii основанное на и{1), равно 5. Решение с помощью обычного метода конечных элементов обнаруживает область за ударной волной, где имеют место более значительные колебания, чем для решения по групповому методу конечных элементов. В других зонах вычислительной области оба решения идентичны.

Поведение решений, полученных с помощью обычного и группового методов конечных элементов в применении к одномерному уравнению Бюргерса, сравнивается в работе [Fletcher, 1983с] с точки зрения численной сходимости. В случаях линейной, квадратичной и кубической интерполяций оба варианта дают сравнимую точность. При одном пространственном измерении и тот и другой варианты подобны друг другу в смысле экономичности.

10.3.2. Формулировка многомерного группового варианта

Применение группового метода конечных элементов демонстрируется здесь на примере двумерных уравнений Бюргерса (10.57), (10.58). Эквивалентная дивергентная векторная форма представления этих уравнений имеет вид

Применение метода Галёркина с конечными элементами согласно процедуре § 5.3 позволяет получить дискретизированные уравнения

Mx®My[l = RHS, (10.55)

RHS = - Му(8>ЕхР-Мх<8>Ьуа +

+ v{My(8> + Мх Lyy) q + Mx MyS. (10.56)

Стоит отметить подобие структуры полученных уравнений и уравнений (9.85). В этом состоит особенность группового варианта; а именно на уровне, на котором проводится дискретизация, уравнения являются линейными, хотя и неопределенными. Если узловые группы выразить через неизвестные узловые переменные, то возникает нелинейность, но зато система становится определенной.

Как свидетельствует наличие тензорных произведений массового и разностного операторов, например My ® LjcF, в правой части (10.56), групповой вариант метода конечных элементов приводит к девятиточечной дискретизации производной дР/дх. Строго говоря, эта дискретизация является всего лишь шеститочечной, так как один из элементов оператора Lx равен нулю. Если обычный метод конечных элементов применить к уравнению (10.57), (10.58), то связующая способность окажется значительно больше. Она определяется здесь числом узловых групп, получаемых в результате дискретизации конвективного члена.

Рост связующей способности будет приводить к увеличению числа операций, а следовательно, и времени исполнения. Связующая способность возрастает с увеличением размерности, с введением более высокого порядка интерполяции, а также с повышением порядка нелинейности в определяющем уравнении. Чтобы дать правдоподобную оценку воздействия всех факторов на суммарное время исполнения алгоритма, в табл. 10.10 приводятся данные о числе операций.

Уравнения Бюргерса и уравнения Навье - Стокса для сжимаемой жидкости (п. 11.6.3) обладают конвективными членами с квадратичной и кубической нелинейностью соответственно. Из табл. 10.10 видно, что для обычного метода конечных элементов с линейной интерполяцией связующая способность возрастает как с увеличением числа измерений, так и с повышением порядка нелинейности. В отличие от этого связующая способность для группового варианта изменяется под влиянием увеличения числа измерений, но остается неизменной при повышении порядка нелинейности.