Таблица 10.10. Связующая способность и число операций для обычного и группового вариантов метода конечных элементов с линейной интерполяцией

Большая связующая способность впоследствии трансформируется в большое число операций, требуемых для расчета невязки в стационарном состоянии. Предполагается, что системы обыкновенных дифференциальных уравнений, формируемые с помощью дискретизации, интегрируются маршевым способом по времени с использованием приемов расщепления, подобных тем, которые были изложены в § 8.2, 8.3 и 9.5. Как правило, на каждом шаге по времени вычисление стационарной невязки RHS в соответствии с формулой (10.56) занимает около 50 % времени исполнения. Вследствие этого подсчет числа операций для вычисления невязки на одном шаге по времени приближенно соответствует расчету полного времени исполнения.

Результаты, приводимые в табл. 10.10, свидетельствуют о том, что групповой вариант метода конечных элементов становится все более экономичным в сравнении с обычным вариантом по мере возрастания порядка нелинейности или числа измерений. Применительно к трехмерному течению вязкой жидкости групповой вариант позволяет рассчитать невязку стационарного состояния с экономичностью, почти в сто раз превышающей экономичность обычного варианта. Это приближенно соответствует пятидесятикратному улучшению суммарного времени исполнения алгоритма. Если вместо линейной интерполя-

ЦИИ используется интерполяция более высокого порядка, то относительная экономичность группового варианта в сравнении с обычным вариантом метода конечных элементов становится еще больше.

Относительные времена исполнения, подсчитанные для обычного и группового вариантов конечно-элементной дискретизации двумерных уравнений Бюргерса и приведенные в табл. 10.10, подтверждены на практике [Fletcher, 1983b]. Четырехкратное улучшение, показанное в табл. 10.10, соответствует замеренному отношению времен исполнения, равному два с половиной.

7.00г

6Л0-

5.00-й 4.00h

3.00-

О = 3-FD О =LF£(C) □ = LFE(6)

6.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.А0 -IgDX

Рис. 10.11. Свойства пространственной сходимости для разных вариантов дискретизации стационарных двумерных уравнений Бюргерса. 3-FD - трехточечная конечно-разностная дискретизация; LFE(C)-обычный метод конечных элементов с линейной интерполяцией; LFE(G)-групповой метод конечных элементов с линейной интерполяцией.

В применении к стационарному двумерному уравнению Бюргерса при v = 0.1 относительная точность группового и обычного вариантов метода конечных элементов может быть оценена на основании результатов, демонстрируемых на рис. 10.11. Эти результаты были получены на равномерной сетке при Ах = Ау, Среднеквадратичные ошибки уменьшаются по мере измельчения сетки примерно с той же скоростью и для заданной сетки имеют примерно ту же величину. Видно, что обе конечно-элементные схемы точнее, чем трехточечная конечно-разностная дискретизация уравнений (10.57) и (10.58).

30 к. Флетчер, т. I

Рис. 10.12. Точное стационарное решение двумерных уравнений Бюргерса

(10.57), (10.58).

Групповой вариант исследовался также авторами работы (Christie et al., 1981), которые называли его аппроксимацией произведений . Они показали, что для представительных модельных задач групповой вариант оказывается теоретически столь же точным, как и обычный вариант метода конечных элементов.

Общий вывод, который можно сделать, исходя из содержания данного параграфа, сводится к тому, что групповой вариант метода конечных элементов должен быть предпочтен обычному варианту этого метода с целью достижения приемлемой экономичности, если дискретизация осуществляется по отношению к нелинейным уравнениям гидроаэродинамики (гл. И)

Суждение о сходимости схем основано на рассчитанном решении [Fletcher, 1983b], которое по сравнению с тем, что показана на рис. 10.12, обладает более умеренным градиентом, но с более отчетливой тенденцией развития в направлении оси х. Это решение затабулировано на рис. 6.14.