дх ду

С ЧИСЛОМ измерений более одного. Однако нет оснований ожидать, что использование группового варианта приведет к уменьшению точности решения.

§ 10.4. Двумерные уравнения Бюргерса

Подобно тому как одномерное уравнение переноса имеет свой многомерный аналог (§ 9.5), так и одномерное уравнение Бюргерса может быть обобщено на многомерный случай. Двумерные уравнения Бюргерса имеют вид

дй , - дй , дй ( дЧ . дЧ\ /1л ктч

17+ 1Г + 17-4 + 10 = 0. (10.57)

ir + U + 17-4lF- + l?-)=-0. (10.58)

Двумерные уравнения Бюргерса совпадают с двумерными уравнениями импульсов для ламинарного течения несжимаемой жидкости (п. 11.5.1), если в последних пренебречь членами с давлением.

10АЛ. Точное решение

Как и в случае одномерного уравнения Бюргерса, точные решения могут быть построены [Fletcher, 1983d] с помощью преобразования Коула - Хопфа. При двух измерениях преобразование Коула - Хопфа связано с введением одной функции Ф, через посредство которой входящие в уравнения (10.57) и (10.58) функции й \iv выражаются по формулам

2у(аФ/а.) . -2у(£Ф/а,) 5

ф ф

в результате уравнения (10.57) и (10.58) преобразуются в одно-единственное уравнение

#-(# + ) = о. ( -ад

которое представляет собой двумерное уравнение диффузии (8.1). При задании надлежащих граничных и начальных условий уравнение (10.60) имеет точное решение, которое при помощи формул (10.59) может быть использовано для формиро-вания точных решений уравнений (10.57), (10.58).

Главный интерес представляет стационарное решение уравнений (10.57), (10.58). Поэтому будут отыскиваться точные решения стационарной части уравнения (10.60), т. е.

+# = 0. (10.61)

Приводимое ниже точное решение уравнения (10.61) обеспечивает значительную свободу контроля над соответствующими решениями для скоростей, удовлетворяющими уравнениям (10.57) и (10.58). Имеем

ф = ai + a2X + ау + аху + а-, [е(-о) + cos (Лу), (10.62)

где коэффициенты ..., as, а также параметры X и хо подбираются так, чтобы придать надлежащие особенности точному решению. Если воспользоваться формулами (10.59), то соответствующие точные решения уравнений (10.57), (10.58) принимают вид

- 2у {а2 -Ь ау + Xas [g<-°> - g-M-o)] cos (Xy))

{a, + a2X + a,y + a,xy + a, [e(-o) + е~(х-х,ц (j

{ai+a2X + asy + axy + as[e- + e-<-cos(Xy)}

Типичный вариант точного решения для стационарного течения с очень большим внутренним градиентом показан на рис. 10.12. Это решение получено при следующем выборе параметров:

ai = a2=1.3XI0\ аз = а. = 0, аз=1.0, Л = 25, Хо=1, v = 0.04. (-

Точное решение (10.63), (10.64) особенно полезно для того, чтобы оценить степень точности различных алгоритмов [Fletcher, 1983с], как показано на рис. 10.11.

10.4.2. Схемы расщепления

Разработка схем расщепления для многомерных уравнений, например двумерных уравнений Бюргерса, идет по пути, близкому к тому, который был указан в § 8.2, 8.3 и 9.5. Дополнительное усложнение вносит при этом нелинейность. Как преодолевается подобное усложнение, будет показано ниже с помощью обращения к двумерным уравнениям Бюргерса, представленным в консервативной форме (10.52).

Уравнения (10.55), (10.56), представляющие собой дискре-тизированную форму уравнения (10.52), соответствуют как групповому варианту дискретизации с конечными элементами, так и конечно-разностной дискретизации, если массовые операторы представить в таком виде:

Мх = (б 1 - 2б б,). My = {6у, 1 - 2б б) (10.66)

Такая дискретизация приведет к схеме расщепления, эквивалентной расширенному методу Ньютона (п. 6.4.1). Желая получить из уравнения (10.67) линейную систему уравнений для Aq необходимо провести линеаризацию нелинейных членов F, G и S в выражении (10.56) для RHS+; для этого осуществляется разложение в окрестности п-го временного слоя, что дает

Qn+lQnn+l (10.68)

5п+1 5п (.дп+1 где А, В и С вычисляются на основе выражений (10.53) в виде

dq \ V uJ °~ dq -\0 2v J

ds nu + v) 2uv \ (o

После подстановки в уравнение (10.67) появляется возможность построить следующую приближенную факторизацию:

[М + At (LA - vL - 0.5МС)] Aq] = At RHS, (10.70)

[My + At (LB - vL - 0.5MC)] Aq- = Aq- (10.71)

Tot факт, что в уравнения (10.70) и (10.71) входят матрицы Якоби А и т. д., делает уравнения блочно-трехдиагональными вдоль сеточных линий, параллельных осям х и у соответственно. Так как матрицы А и т. д. зависят от решения, возникает

как в (9.86). Выбор 6х==8у = 0 дает обычную трехточечную конечно-разностную дискретизацию; выбор же значений iiz={)y==-L дает групповой вариант метода Галёркина с конечными элементами, основанный на билинейной интерполяции.

Было бы возможно ввести трехслойную дискретизацию по времени для уравнения (10.55), как это было сделано при выводе схемы (9.87). Однако здесь нас интересует использование псевдонестационарной формулировки (§ 6.4) с целью получения решения для стационарного состояния. Поэтому мы воспользуемся приводимым ниже вариантом двухслойной чисто неявной (v = О, р = 1) дискретизации по времени для уравнения (10.55):

Aq - +