возникает при более сильных градиентах. Однако эти решения свидетельствуют о том, что алгоритмы схем расщепления могут ыть без труда распространены на нелинейные уравнения и что такие схемы, как AF-4PU и AF-MO, потенциально более точные, могут быть включены в программу при достаточно экономичной реализации.

Таблица 10.12. Изменение и в зависимости от х при у1Утах = 0Ау NX = 6, NY = 6

§ 10.5. Заключение

Вычислительные приемы, которые развивались применительно к уравнению диффузии в гл. 7 и 8, к уравнениям линейной конвекции и переноса - в гл. 9, были распространены здесь на семейство нелинейных уравнений - уравнений Бюргерса- для одномерного и двумерного случаев. Уравнения Бюргерса содержат ту же самую форму конвективной нелинейности, какая имеется во многих определяющих уравнениях динамики жидкости и газа.

При многих комбинациях начальных и граничных условий уравнения Бюргерса допускают легко рассчитываемые точные решения. В силу этого они представляют собой модельные уравнения, подходящие для проверки разнообразных вычислительных методов. Применительно к одномерному уравнению Бюргерса эта особенность была использована в п. 10.1.4 и 10.3.1, а применительно к двумерным уравнениям Бюргерса - в 10.3.2 и 10.4.3.

Чтобы иметь возможность воспользоваться алгоритмом Томаса, необходимо подвергнуть линеаризации конвективную нелинейность. Такая необходимость выявляется как для неявных одномерных схем (п. 10.3), так и для многомерных схем расщепления (п. 10.4.2). Методика линеаризации без труда распространяется и на системы уравнений (§ 10.2).

Анализ Фурье, непосредственная применимость которого к линейным уравнениям была показана в п. 9.2.1 и 9.4.3, косвенно используется и при анализе устойчивости по Нейману после замораживания нелинейности. Подход, связанный с применением модифицированного уравнения (п. 9.2.2), остается применимым и к линейным уравнениям. Однако произведения производных высшего порядка появляются при этом в достаточном числе и имеют достаточную величину, чтобы существенно уменьшить точность определения диссипативных и дисперсионных свойств. Оказывается обычно полезным в качестве промежуточного шага подвергнуть анализу эквивалентное линейное уравнение, так как именно это уравнение часто обнаруживает качественно эквивалентное диссипативное и дисперсионное поведение. Построение более точных схем нередко требует использования определяющих принципов, выявленных с помощью соответствующих линейных уравнений, при условии внесения в них тех или иных эмпирических поправок.

Большинство вычислительных методов, разработанных для линейных уравнений, могут быть распространены и на нелинейные уравнения. Однако, имея дело с нелинейными членами конвективного типа, часто оказывается более целесообразным

использовать такие сохраняемые переменные, как, например, функция F в уравнении (10.3). В тех случаях, когдд это полезно, сохраняемые переменные будут использоваться в гл. 14-18.

Нелинейный характер определяющего уравнения делает неэкономичным применение обычного метода Галёркина с конечными элементами, особенно при решении многомерных задач и при использовании повышенного порядка интерполяции. Это затруднение преодолевается за счет представления уравнений в консервативной форме и введения приближенных решений для сохраняемых групп. Групповой вариант метода Галёркина оказывается зачастую более точным, особенно в тех случаях, когда консервативной форме представления определяющих уравнений отдается предпочтение в связи с физическими особенностями задачи.

§ 10.6. Задачи Одномерное уравнение Бюргерса (§ 10.1)

10.1. Примените к уравнению (10.20) анализ с помощью модифицированного уравнения. Нелинейные коэффициенты уравнения считайте при этом замороженными и рассмотрите два случая: (1) = 0, (2) 6 = 0. Покажите, что оптимальные значения 6 и задаются соотношениями (10.26) и (10.27) соответственно.

10.2. Модифицируйте программу BURG так, чтобы реализовать конечно-разностную дискретизацию уравнения (10.1) по схеме Кранка-Николсона и сравните полученное решение с тем, которое соответствует конечно-разностной дискретизации уравнения (10.3) по той же схеме и при условиях, соответствующих табл 10.5. Как изменятся результаты этого сравнения, если интегрирование будет продолжено до больших значений времени?

10.3. Модифицируйте программу BURG за счет введения в нее соотношений (10.26) и (10.27) и сравните решения применительно к условиям, относящимся *к большим числа Рейнольдса ячейки и соответствующим табл. 10.5.

10.4. Программа BURG может быть использована для получения стационарных решений уравнений (10.37) при F = О.Ъ(и - й). Введите соответствующие изменения в общую трехслойную схему, эквивалентную схеме (8.26), и постройте решения при (1) у = О, Р = 1; (2) у = О, р = 0.5; (3) у = 0.5, р = 1.0. Сравните числа итераций, требуемых для достижения стационарного состояния в условиях, соответствующих табл. 10.9, но с использованием однородной сетки.

10.5. Для уравнения конвекции - диффузии (10.28) составьте программу неравномерной дискретизации (10.30) -(10.32) и подтвердите результаты, приводимые в табл. 10.6 и 10.7.

10.6. Разработайте четырехточечную дискретизацию на неоднородной сетке со сдвигом вверх по потоку так, чтобы оставался один свободный параметр (эквивалентный q). Предположите, что величина Гх постоянна, но не равна единице. Примените эту дискретизацию к модифицированному уравнению Бюргерса (10.37) с двухслойной чисто неявной маршевой схемой (10.38). Сравните точность полученных при этом решений с тем, которое показано в табл. 10.8 и 10.9 для различных значений свободного параметра.

31 К Флетчер, т. 1