dt дх ду дх - ду

Приближенное решение для Г вводится по формуле

Т=Т.Т,ф,{х, у), (А.2)

i = l

где /(л:, у)-двумерные интерполяционные функции Лагранжа, эквивалентные функциям (5.60). Выражение (А.2) подставляется в уравнение (А.1); согласно формулам (5.5) и (5.10), вычисляется галёркинский интеграл от невязки с весом, и результат представляется в виде

Мх ® МуТ + иМу ® LxT + vMx ® LyT -

- аМу ® LJ - ауМх LyyT = О, (А.З)

где символ ® обозначает тензорное произведение и t = dT/dt. Символы Мх и My соответствуют массовым операторам по направлениям и определяются формулами

1 1±1± 6 3

. М.= {1, 1, If. (А.4>

Времена исполнения, приводимые в табл. А.1, относятся к супермикрокомпьютеру (Masscomp 5400), данные о действиях которого даны в табл. 4.4. Время исполнения для ICT = 1 вычтено из данных для случаев ICT = 2 и ICT = 7. В остальных случаях вычитается время для ICT = 2. Для операций с фиксированной запятой (FX), перечисляемых в табл. 4.4, активизируется оператор целочисленности (строка 6), а вычисление библиотечных функций (строки 38, 40 и 42) заменяется операторами CONTINUE, что сделано для выполнения оператора GOTO (строка 21).

§ А.2. Массовый и разностный операторы

Как указывается в п. 5.5.1 и 5.5.2, метод конечных элементов можно интерпретировать как средство почленной дискретизации, если только массовый и разностный операторы по направлениям идентифицированы в явной форме. Происхождение этих операторов в рамках метода Галёркина с конечными элементами (§5.1 и 5.3) будет показано здесь с двумерным уравнением переноса (9.81)

+ -+-х--ау=0. (А.1)

Разностные операторы по направлениям задаются формулами

Lx =

(1 + Гх) 1

1Ду Д1/J УУ~\гуАу ГуАу ДуМ .

где Гх И - коэффициенты изменения размеров сетки,

- X,

Xj - Xj

(А.5)

(А.6)

так что на равномерной сетке имеем Гх = Гу = 1.

Можно видеть, что имеет место почленное соответствие между исходными уравнениями (АЛ) и дискретизированным уравнением (А.З). Источник этого соответствия можно увидеть, если рассмотреть в (АЛ) единственный член dTjdx. Применение к уравнению (АЛ) метода конечных элементов включает следующий вклад от производной dTjdx:

где знак Yue обозначает вклады от элементов, примыкающих к узлу т. Интерполяционные функции Лагранжа фт можно представить в форме произведений одномерных интерполяционных функций

где функции ф и Фу задаются формулами (5.45) и (5.46). Следовательно, вклады в интеграл (А.7) можно расщепить на компоненты по направлениям

Как результат этого можно ввести операторы

Lx.=

/ -1/2

(А.9)

(АЛО) (А.11)

где предполагается, что т-й галёркинский узел совпадает с глобальной узловой точкой сетки (/, k), так что

(А. 12)

2 Ах

Там, где в определяющем уравнении (АЛ) появляется вторая производная, применение интегрирования по частям приводит к следующему определению оператора Lxx во внутренней точке:

Определения, сравнимые с теми, которые даны в формулах (А.10), (А.11) и (А.14), могут быть получены и для Мх, Ly и Lyy соответственно. На практике интегралы в формулах (А, 10) и т. д. вычисляются путем введения координат (g, г]), связанных с элементом, как это было с формулами (5.58) - (5.60). Для линейных элементов

SJ) = 0.5(l+gy при , = ±1 и -1<5<1. (А.15)

Формулы (А.10), (А.11) и (А.14) применимы для интерполяции Лагранжа любого порядка. В случае квадратичной интерполяции операторы, выражаемые по формулам (А.4) и (А.5), имеют по пять компонент, связанных с угловыми узлами, и по три компоненты, связанные с узлами в серединах сторон.

Как очевидно из формул (А.5), форма операторов Lx и Lxx аналогична тому, что имеет место при конечно-разностной дискретизации. В отличие от этого массовые операторы (А.4) ведут свое происхождение от интегральной природы метода Галёркина. На этом основании при решении трехмерной задачи производная дТ/дх дискретизируется в виде

дТ/дх ->My(S) М, ® LJ. (А. 16)

Для элементов в форме кирпичиков с использованием трилинейной интерполяции вышесказанное позволяет заключить, что оператор ® ® L будет самое большее 27-точечным оператором.

При применении равномерной сетки существует связь между ролью массовых операторов и разностными формулами Паде. Вычисление дТ/дх по разностным формулам Паде с точностью четвертого порядка осуществляется посредством решения

Таким образом, член дТ/дх в уравнении (АЛ) дискретизируется в форме My ® LxT. На глобальной сетке это приобретает вид

(А. 13)