ре L, а также информацию о граничных условиях и области вычислений. Следовательно, главная трудность, возникающая при использовании метода функции Грина, состоит в определении того, какой именно должна быть эта функция в применении к данной конкретной задаче. Последующее вычисление интеграла в (2.85), как правило, не вызывает затруднений.

Функцию Грина можно построить для таких сравнительно простых линейных уравнений, как уравнения Лапласа и Пуассона. Например, точечный источник единичной мощности в трех, измерениях имеет функцию Грина

S{p,q) = {l/4)nr, (2.86)

где Грд - просто расстояние между ряд. Эта формула по существу эквивалентна двумерному потенциалу скорости, заданному формулой (11.53) при т=1. После выполнения требуемого дифференцирования получим

-WlS{p,q) = b{p,q), (2.87)

где б(р, q)-дельта-функция Дирака, центрированная в точке р, а у2 - лапласиан, вычисленный при q. Свойство дельта-функции Дирака таково, что

w{q)6(p, q)dV, = w{p) и б(р, 9) = 0, если pq. (2.88)

Функция w(q) из (2.88) - произвольная гладкая функция.

Процедура решения может быть окончательно определена, если воспользоваться вторым тождеством Грина:

J (и2 vy2) dV+\(u-v)dS = 0. (2.89)

R dR

Пусть В интересующей нас ситуации функция и, входящая в левую часть соотношения (2.89), отождествляется с решением уравнения Пуассона

u=--f в области /?, и = 0 на контуре dR (2.90)

v = Gip, q) = S(p, q) + g{p,q) при v = 0 на dR. (2.91) В результате соотношение (2.89) приобретает форму

J y/dK = - J uVvdV. (2.92)

5 К Флетчер, т. 1

Метод функции Грина неявно используется при построении панельного метода (см. § 14.1) и почти непосредственно используется в методе граничных элементов (см. п. 14.1.3).

Для некоторых эллиптических ДУЧП можно построить некий эквивалентный вариационный принцип и применить процедуру Рэлея - Ритца [Gustafson, 1980]. Такая методика является стандартной при применении метода конечных элементов к исследованию механических конструкций, однако те эллиптические ДУЧП, которые встречаются в гидроаэродинамике, обычно не имеют эквивалентной вариационной формы.

§ 2.6. Заключение

В данной главе мы рассмотрели классификацию ДУЧП по принадлежности к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу. Все эти три типа встречаются при различных упрощенных вариантах определяющих уравнений гидроаэродинамики (гл. 11). Впрочем, системы уравнений могут иметь также и смешанный тип. Гиперболические ДУЧП обычно ассоциируются с задачами о распространении без диссипации (волнообразное движение остается незатухающим), а параболические ДУЧП - с задачами о распространении при наличии диссипации. В гидроаэродинамике диссипация обычно порождается членами с вязкостью или теплопроводностью. Эллиптические ДУЧП ассоциируются со стационарными задачами.

Каждый из типов ДУЧП требует задания различных граничных (и начальных) условий и нуждается в применении определенной методики решения. Например, метод характеристик является естественным для гиперболических ДУЧП с двумя независимыми переменными. Для нелинейных уравнений, определяющих гидроаэродинамические процессы, классификация ДУЧП может подвергаться локальным изменениям. С учетом этого граничные условия должны подбираться так, чтобы не нарушалось соответствие классификации ДУЧП вблизи границы.

Функция g(p, q) выбрана так, что у2 = 0 в области R и 9) = О, когда точка q лежит на dR. В результате с помощью (2.88) и (2.92) получим решение

и{р)=\0{р, q)f{q)dV,. (2.93)

При исследовании установившегося двумерного сверхзвукового течения вокруг хорошо обтекаемого тела определяющими уравнениями служат уравнения Навье - Стокса, которые в силу появления вторых производных являются строго эллиптическими в той интерпретации, какая предлагается в п. 2.1.2. Однако подобная классификация не принимает во внимание величины тех членов, от которых зависит результат. В самом деле, члены с вязкостью имеют значение только вблизи поверхности, где вязкая диссипация в направлении вдоль по потоку на один порядок величины меньше, чем вязкая диссипация поперек потока; определяющие уравнения в этой зоне являются смешанными - параболически-гиперболическими. Вдали от тела все члены с вязкостью малы и система уравнений является эффективно гиперболической. Когда появляются ударные волны, то очень большие градиенты по направлению удаления от тела становятся причиной того, что члены с вязкостью (и с теплопроводностью) приобретают существенное значение и определяющие уравнения становятся локально эллиптическими (в пределах, соответствующих толщине ударной волны). Этого достаточно, чтобы заменить разрывное решение (в невязкой аппроксимации) на решение с очень большим градиентом, но непрерывное.

Совершенно очевидно, что строгая математическая классификация определяющих ДУЧП должна сочетаться со знанием тех физических процессов, которые исследуются, чтобы за счет такого сочетания обеспечить постановку правильных граничных условий и выбрать надлежащую методику численного расчета.

§ 2.7. Задачи

Основные положения (§2.1)

2.1. (а) Проведите преобразование уравнения Лапласа дф\дхР- --+ дФ/ду = О к обобщенным координатам g = (д:, у), ц = г]{х, у) и покажите, что полученное в результате уравнение является эллиптическим.

(Ь) Проведите преобразование волнового уравнения - дф1дх = 0

к обобщенным координатам g = х), г\ = r]{t, х) и покажите, что полученное в результате уравнение является гиперболическим.

2.2. Проведите преобразование уравнения Кортвега - де Вриза [Jeffrey, Taniuti, 1964]

ди , ди , ди

к эквивалентной системе уравнений первого порядка за счет введения вспомогательных переменных р = ди/дх и т. д. Обоснуйте вывод, что полученная система уравнений является параболической.