дх ду ди , ди , др дх ду дх dv . dv . dp дх ду ду

Установите тип этой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Гиперболические ДУЧП (§ 2.2)

2.4. Покажите с помощью исследования, что ДУЧП второго порядка ди/дх dt = О является гиперболическим. Рассмотрите эквивалентную систему

dt dx

Обоснуйте вывод, что эта система гиперболическая и оси х и t являются характеристиками.

2.5. Рассмотрите модифицированное волновое уравнение

Покажите с помощью исследования, что это уравнение является гиперболическим. Рассмотрите соответствующую систему уравнений

- ш = О,

dv dw

dt dx

= 0, (2.95)

Покажите, что эта система является гиперболической, и определите характеристические направления. Какова связь между уравнением (2.94) и системой (2 95)? Объясняет ли форма этой связи наличие добавочной характеристики у системы (2.95)

2.6. Определяющие уравнения для одномерного неустановившегося из-энтропического течения невязкой сжимаемой жидкости имеют вид

dp , и dp , pdu

dt dx р дх

где р = kp и а2 = yplp. Здесь а - скорость звука. Покажите, что эта система гиперболическая и характеристики задаются соотношениями dxjdt -

= и -\- а

2.3. Безразмерные уравнения, определяющие установившееся течение невязкой несжимаемой жидкости, имеют вид

. + = 0.

Параболические ДУЧП (§ 2.3)

2.7. (а) Проведите преобразование уравнения дф/dt - адФ/дх = О к эквивалентной системе путем введения вспомогательной переменной р = дф1дх. Покажите, что эта система параболическая.

(Ь) Проанализируйте таким же образом уравнение дф1д1 - а{дФ1дх+ + дф/ду) = О и покажите, что оно является параболическим.

2.8. Рассмотрите уравнение переноса du/dt + 2сди1дх - ddu/dx = О с начальными условиями и(х, 0) = ехр (ch/d) и граничными условиями ,и(0, О = expl-c4/d) и w(l, t) = (d/c)du/dx(\, t). Покажите, что это уравнение параболическое и определите его решение.

2.9. Уравнения, определяющие установившееся течение, в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине, могут быть записаны

в виде

дх ду ди . ди 1 ди дх ду Re ду

Покажите, что эта система параболическая и укажите подходящий вариант начальных и граничных условий для и и v.

Эллиптические ДУЧП (§ 2.4)

2.10. Рассмотрите уравнения

. + = 0. -fL = 0. (2.96)

дх ду ду дх

Покажите, что эта система является эллиптической (а) непосредственно, (Ь) путем введения переменной Ф, где и == дф/дх и v = дф/ду.

2.11. Покажите, что выражения и = х/(х + у), v==y/{x + y) представляют собой решение системы (2.96).

2.12. Покажите, что уравнения

ди , ди ( ди , дЧ\

dv . dv ( dv , dv \

образуют эллиптическую систему и что этим уравнениям удовлетворяют выражения

W = -2 [ai + asy + k {ехр [k (х - Хо)] + ехр [-k {х - Хо)]} cos (ky)]/(Re Z)), v = -2 [a2 + аъх-к {ехр [к {х - Хо)] + ехр [-k (х - л:о)]} sin (f/)]/(Re D),

D==[aQ + aix + azy + axy + {exp [k (x - л:о)] + ехр [-k (x - Xq)]) cos (ky)] и flo, CLu 2, 3, k И Xq - произвольныс постоянные. традиционные методы (§ 2.5)

2.13. Рассмотрите решение уравнения дф/дх + дф/ду = О на единичном квадрате с граничными условиями

Г (О, г/) = О, Г (1, г/) = О, Т (л:, 0) = Го (л:), Т (х, 1) = 0.

2.15. Покажите, что выражение

V-P(--47)

представляет собой функцию Грина для задачи теплопроводности, рассмотренной в задаче 2.14, путем демонстрации того, что при фиксированном это выражение удовлетворяет уравнению (2.75).

Примените метод разделения переменных для получения

Т (л:, г/) = sin (knx) sh [kn {у - 1)],

(2Го/я)[(1)1] ~~ sh (/гя)

2.14. Уравнение дф1д1 - адЩдх = О необходимо решить в области 0<:<1, >0 с граничными условиями 0(0, t) = О, 0(1, t) = Фц и начальным условием Ф(х, 0) = 0. Покажите с помощью метода разделения переменных, что решение имеет форму

2Фг, (-l)exp {-kVat) sin (knx)

ф - -L \ -<-