Глава 3

Предварительные сведения о приемах вычислений

в данной главе будет сделан обзор некоторых из основных вычислительных приемов, используемых при решении задач гидроаэродинамики. При решении конкретной задачи будут известны исходные уравнения (гл. 11) и соответствующие граничные условия (гл. 11 и 2). Для получения приближенного решения исходных уравнений с заданными граничными условиями используются вычислительные приемы.

Например, при исследовании трехмерного нестационарного течения несжимаемой жидкости следовало бы построить решение для скорости и давления, т. е. рассчитать и{х, у, z, t), v(Xy у, z, t), w{ X, у, z, t) и p{Xy y, г, t) Процесс построения вычислительного решения состоит из двух этапов, схематически

Система алгебраических уравнений

Алгоритм решения

Приближенное решение и (х, у, Z, t) и т. д.

Рис. 3.1. Процесс построения вычислительного решения.

показанных на рис. 3.1. На первом этапе дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие непрерывный процесс, а также вспомогательные (граничные и начальные) условия преобразуются в дискретную систему алгебраических уравнений. Этот первый этап называется дискретизацией (см. § 3.1). Процесс дискретизации легко идентифицируется, если используется конечно-разностный метод (см. § 3.5), однако он несколько менее очевиден при применении методов конечных элементов, конечных объемов, а также спектральных методов (см. гл. 5).

В процессе замены отдельных членов исходных уравнений, представляющих собой частные производные, алгебраическими выражениями, связывающими узловые значения на конечной сетке, вносится некоторая ошибка. Методика такого выбора алгебраических выражений, который приводил бы к малым

ошибкам, рассматривается в § 3.2. Достигаемая при этом точность представления дифференциальных членов анализируется в § 3.3 и 3.4. Не менее важной, чем ошибка в представлении дифференциальных членов исходного уравнения, является ошибка самого решения. В § 3.5 дается простая конечно-разностная программа, позволяющая непосредственно оценить ошибку решения.

При обсуждении нестационарных задач процесс дискретизации часто отождествляется с преобразованием исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Это можно было бы считать оправданным с учетом того, что приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [Gear, 1971]) настолько хорошо извест-ны, что дальнейшее обсуждение уже не требуется. Однако при применении конкретного метода систему обыкновенных дифференциальных уравнений следует превратить в соответствующую ей систему алгебраических уравнений и получить таким способом вычислительное решение.

Второй этап процесса решения (см. рис. 3.1) требует, чтобы алгоритм решения уравнения обеспечил построение решения системы алгебраических уравнений. На этом этапе также может вноситься некоторая ошибка, однако она обычно пренебрежимо мала в сравнении с ошибкой, вносимой на этапе дискретизации, если только метод не является неустойчивым (см. § 4.3). Методы, применяемые при решении систем алгебраических уравнений, обсуждаются в гл. 6. Как правило, системы уравнений возникают при решении задач об установившемся течении. Что касается задач о неустановившемся течении, то применение явных методов (см., например, п. 7.1.1) может свести этап решения уравнений к алгоритму, состоящему не более чем из одной строки.

§ 3.1. Дискретизация

Чтобы преобразовать исходное уравнение в частных производных (или систему таких уравнений) в систему алгебраических уравнений (или обыкновенных дифференциальных уравнений), можно выбрать один из нескольких вариантов. Наиболее общепринятыми являются метод конечных разностей, метод конечных элементов и спектральный метод. Способ осуществления дискретизации зависит также от того, рассматриваются ли производные по времени (в применении к задачам с зависимостью от времени), или же уравнения, содержащие только пространственные производные.

На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием конечно-разностного метода. При дискретизации пространственных производных используется, как правило, метод конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов или спектральный метод.

3.1.1. Преобразование производных в дискретные алгебраические выражения

Для иллюстрации процесса дискретизации рассмотрим уравнение

-5Г= (3.1)

которое определяет нестационарный процесс теплопроводности в одном измерении. Символ Т соответствует температуре, символ а - коэффициенту теплопроводности. Черта сверху символизирует точное решение. Характерные граничные и начальные условия, соответствующие уравнению (3.1), имеют вид

Г (О, 0 = 6, f(l, t) = d, (3.2)

f (x, 0) = Го (jc), О < X < 1. (3.3)

Наиболее прямой путь дискретизации состоит в замене производных эквивалентными им конечно-разностными выражениями. Так, например, с помощью представлений (3.21) и (3.25) уравнение (3.1) можно заменить уравнением

(3.4)

Размеры шагов Л/, Ах, а также смысл нижнего индекса / и верхнего индекса п указываются на рис. 3.2. В уравнении (3.4) символ Tf соответствует значению Г в узле (/, п).

Как это явствует из самого процесса дискретизации, превращающего уравнение (3.1) в уравнение (ЗА), задача о нахождении точного (непрерывного) решения Г(х, t) оказалась замененной на задачу о нахождении совокупности дискретных значений Г/, т. е. приближенного решения в каждом из узлов (/, п) (см. рис. 3.2). Ясно, что при этом возникают две связанные между собой ошибки - ошибка аппроксимации и ошибка решения. Ошибка аппроксимации, вносимая за счет дискретизации уравнения (3.1), будет рассматриваться в § 3.3 и 3.4. Ошибка, соответствующая разнице между приближенным решением и точным решением (ошибка решения), будет изучена в § 4.1.