Истинное значение приближенного решения в промежуточной точке между узлами сетки отнюдь не очевидно. Согласно интуитивному представлению, решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками. В принципе решение в некоторой точке (х,-, tr), не совпадаюпхей с узлом, может быть построено путем интерполяции значений, соответствующих решению для окружающих узловых точек. Как мы

-п+1 л п-1

1 J=2 j=3 j-1

л=2-л=0

АХ 2Ах ОЧ)Лх

Рис. 3.2. Дискретная сетка.

увидим в дальнейшем (см. § 5.3), этот интерполяционный процесс является автоматически встроенной частью метода конечных элементов.

Ясно, что если уравнение (3.1) является дифференциальным уравнением в частных производных, то уравнение (3.4) алгебраическое. Если посмотреть на рис. 3.2, то с помощью уравнения (3.4) можно получить формулу (или алгоритм) для определения неизвестного значения Г/ в зависимости от известных значений Г на п-м временном слое, т. е. найти выражение

(3.5)

Чтобы построить полное численное решение на временном слое {п1), следует применить формулу (3.5) ко всем узлам / = 2, / -1, предполагая при этом, что граничные условия

рП + \

Дирихле обеспечивают данные о значениях П и Г/ 3.L2, Производные по пространству

Мы уже имели возможность видеть, как конечно-разностный метод дискретизирует производные по пространству, например как величина дТ/дх в уравнении (3.1) превращается

в выражение (Г/-1 - 2Г + входящее в уравне-

ние (3.4).

Метод конечных элементов (см. § 5.3) позволяет достичь дискретизации за счет первоначального предположения о том, что локальное решение для Т допускает интерполяцию. Далее это локальное решение подставляется во взятый с соответствующим весом интеграл от всех членов исходного уравнения. Типичный результат такого действия при использовании линейных элементов на равномерной сетке имеет следующий вид:

М М М ~

а{ти-Щ + ти) (3.6)

Если разделить обе части уравнения (3.6) на Лх, то результат получится аналогичным по своей структуре выражению (3.4). Вывод уравнения (3.6) приводится в п. 5.5.1.

В спектральном методе (см. § 5.6) используются предположения, аналогичные предположениям метода конечных элементов, за исключением того, что предполагаемая форма решения для Т имеет вид

Г=Еа;(0у(х), (3.7)

где а/(О-неизвестные коэффициенты, определяемые в процессе построения решения, а ф}{х)-известные функции х (см. § 5.6). Окончательная форма дискретного представления уравнения при использовании спектрального метода может быть записана как

где р/ - известные алгебраические коэффициенты.

Какой бы метод ни применялся для осуществления дискретизации, процесс последующего решения уравнений, например с использованием выражения (3.5), применяется непосредственно к алгебраическим уравнениям и является в некотором смысле не зависящим от способа дискретизации.

3.1.3, Производные по времени При замене dTldt в уравнении (3.1) на одностороннее разностное выражение {Т}-Т1)1Ы используется информация только с временных слоев д и д -f 1. В силу того что время из-

меняется только в положительном направлении, информация с временных слоев с номерами д + 2 и больше нам недоступна. В уравнении (3.4) пространственная производная дТ/дх аппроксимировалась на временном слое /г, в силу чего получился явный алгоритм для определения Г Если бы пространственные члены аппроксимировались на временном слое /г+1, то получился бы следующий неявный алгоритм:

- sT ]] + (1 + 25) ГГ - sTXl = Тг (3.9)

где 5 = аЛ/Ах. Уравнение (3.9) можно решить, если рассматривать его как часть системы уравнений, полученной из (3.9) путем записи данного уравнения для всех узлов / = 2, ... ...,/-1 (см. §7.2).

Если в уравнение (3.1) подставить формулу с центральной разностью (Г/ - Г/~)2 Д/, то можно построить следующий явный алгоритм для определения Г

jn+\j,n-x д Ах) (Г- 1 ~ 2Г; + 7/+О- (ЗЛО)

Алгоритм (3.10) является более точным, чем формула (3.5),. однако и более сложным, так как охватывает данные не с двух слоев, а с трех: п - \, п, п + 1. Этот частный вариант алгоритма оказывается непрактичным, так как он неустойчив (см. п. 7.1.2). Однако в применении к другим уравнениям, например к уравнению конвекции (см. § 9.1), использование центральных разностей по времени приводит к устойчивым алгоритмам.

Существует некоторый альтернативный подход к дискретизации производных по времени, построенный на связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнение (3.1) можно записать в виде

-f- = Zf, (3.11)

где L - дифференциальный оператор ад/дх. После дискретизации по пространству уравнение (3.11) принимает вид

= LJi, (3.12)

где La - алгебраический оператор, полученный в результате пространственной дискретизации. Совокупность уравнений (3.12), записанных для каждого из узлов, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Отсюда следует, что к уравнениям (3.12) может быть в