www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

Принципе применена любая методика интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [Gear, 1971]). Вообще говоря, результат интегрирования можно записать в форме

Т] = Т]+ 5 LaTjdt. (3.13)

Вычисление интеграла в (3.13) по схеме Эйлера дает выражение

Т1 = Т1 + [1аГГМ, (3.14)

тождественное выражению (3.5), если La - конечно-разностный оператор, фигурирующий в уравнении (3.4). Вследствие ошибок, связанных с введением оператора пространственной дискретизации La, использование формулы интегрирования очень высокого порядка для подстановки в (3.13) обычно не дает каких-либо преимуществ. Некоторые из наиболее эффективных алгоритмов решения подобных задач рассматриваются в § 7.4.

§ 3.2. Аппроксимация производных

В § 3.1 были приведены типичные алгебраические формулы, позволяющие проиллюстрировать технику дискретизации производных, подобных дТ/дх. Здесь демонстрируется процесс построения таких алгебраических формул, сначала при помощи разложения в ряд Тейлора, а потом - при помощи некоторой общей процедуры. В каждом случае нетрудно оценить ошибку, обусловленную процессом дискретизации.

3.2,1. Разложение в ряд Тейлора

В качестве первого шага по пути к разработке алгоритма расчета тех значений f, которые могут фигурировать в уравнении (3.1), выразим производные Т по пространству и времени в узле (/, п) через значения Т в близлежащих узлах. Для реализации этого процесса воспользуемся разложениями в ряды Тейлора типа



Эти ряды могут быть оборваны после любого числа членов, причем возникающая в результате ошибка (ошибка аппроксимации) определяется в основном следующим членом разложения, если только Ал: < 1 в разложении (3.15) или если А < 1 в разложении (3.16). Следовательно, можно написать

TUi = T}+Ax

2 L дх if

+ 0(Ajc3). (3.17)

Интерпретация остаточного члена 0(Ал:) сводится к тому, что, как предполагается, существует некоторая положительная постоянная /С, зависящая от Г, такая, что разность между значением Т в узле (/+ 1, и первыми тремя членами правой части (3.17), рассчитанными в узле (/, п) оказывается численно меньше величины КАх для любых достаточно малых Ал:. Ясно, что связанная с такой аппроксимацией ошибка будет быстро уменьшаться по величине по мере уменьшения Ал:.

Обращаясь к выражению (3.17J, нетрудно видеть, что конечно-разностное представление дТ/дх можно получить непосредственно. Действительно, перегруппировка членов в (3.17) дает

= (Г,-Г;)/Ах-0.5Ах[4].+ .... (3.18)

Очевидно, что использование конечно-разностной подстановки

дТ дх Jy

(3.19)

обеспечивает точность О (Ал:). Дополнительные члены, фигурирующие в правой части (3.18), называются в дальнейшем ошибкой аппроксимации. Выражение в правой части формулы (3.19) называется аппроксимацией с разностью вперед. Если разложить величину rf i в ряд Тейлора в узле (/, п) и перегруппировать члены, то можно построить аппроксимацию с разностью назад:

(3.20)

Как и (3.19), эта аппроксимация вносит ошибку О (Ал:). Геометрическая интерпретация выражений (3.19) и (3.20) дается на рис. 3.3. Формула (3.19) оценивает [дТ1дх\} через наклон линии ВС, тогда как формула (3.20) дает ту же оценку посредством наклона АВ.

Формулы (3.19) и (3.20) были получены с помощью разложения в ряд Тейлора по пространству. Разложение в ряд



Тейлора по времени - формула (3.16)-может быть использовано для построения аппроксимации с разностью вперед

рП+\ грп

- (3.21)

L dt Jy

которая вносит ошибку 0(At)j если только предположить, что At < I и что производные высших порядков ограничены.

3.2.2. Аппроксимация оби{его вида

Конечно-разностные выражения, приведенные в п. 3.2.1, были построены с помощью простых перестановок в единственном

Т(Х)р


Рис. 3.3. Различные варианты конечно-разностного представления дТ/дх,

разложении в ряд Тайлора. Более последовательная методика построения разностных аппроксимаций сводится к тому, чтобы начать с некоторого общего выражения типа

дТ 1

= аГ; 1 + ЬТ] + cThi + О (Дх ),

(3.22)

где постоянные а, b и с подлежат определению, а член О(Лх) будет указывать на степень точности получаемой аппроксимации.

Используя формулу (3.15), можно написать

аТ1., + ЬТ} + сТ},{а + Ь + с)Т] + (-а + с)Ах

+ {а + с)

Ajc2

дх J/

дх J

+ {-а + с)

L дх J/

1. -f .... (3.23)

Полагая а + 6 + с = О, (-а + с)Ах = 1, получаем а = с - ~ 1/Лх и b = -2с + 1/Ах для любого с. Выбирая с так, чтобы



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика