www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

обратился в нуль третий член правой части формулы (3.23), получаем наиболее точную аппроксимацию из всех возможных вариантов с подбором трех параметров. Таким образом, имеем с = -а = (1/2)Дл: и 6 = 0. Подстановка этих значений в (3.23) дает

1дх i

L дх I,-

1 +....

Следовательно, центрированная (или центральная) разностная аппроксимация для [dTldxYj имеет форму

1дх i

(3.24)

с ошибкой аппроксимации 0[Ах). Очевидно, что центрированная разностная аппроксимация вносит ошибку аппроксимации более высокого порядка, чем аппроксимации с разностями вперед (3.19) и назад (3.20). Формула (3.24) оценивает по на-

клону линии АС на рис. 3.3.

Если по аналогии с (3.22) воспользоваться подобным же представлением для [r/dxJJ, то получим следующую центрированную разностную формулу:

(3.25)

Тот же самый прием с использованием представлений типа (3.22) может быть применен для построения односторонних разностных формул, если только вводить разложения в окрестности соответствующих узлов. Этот же прием можно использовать и для вывода многомерных формул, а также разностных формул для неравномерных сеток (см. п. 10.1.5).

3.2.3. Трехточечная асимметричная формула для [дТ/дх] :

Общий прием построения алгебраических формул для аппроксимации производных (см. п. 3.2.2) используется для вывода трехточечного одностороннего представления производной [dTldxY. В качестве исходного выражения вместо (3.22) берется следующее общее представление:

L дх

] =аТ} + ЬТи + сти + О (Дх ),

(3.26)



где параметры а, b и с подлежат определению. Величины и Г/+2 разлагаются в ряд Тейлора около / (см. п. 3.2.1). Подстановка этих разложений в (3.26) и перегруппировка членов позволяет получить

= (а + 6 + с) Г/ + (6 Ах + с2 Ах) +

ЬАх , c(2ajc)2

(3.27)

Путем сравнения левой и правой частей соотношения (3.27) нетрудно установить, что для получения наименьшей ошибки параметры а, Ь и с должны удовлетворять следующим условиям:

а + 6 + с = 0, 6Ах + с2Ах= 1,

6 ajc , с (2 ajc)2

Отсюда получаются значения параметров: 1.5 , 2

и, следовательно,

. дх \j Ал:

Ал:2

\Гдх 1

что согласуется с результатом, показанным в табл. 3.3 (см. стр. 84). Данная формула вносит ошибку аппроксимации 0(Ах2), как и формула (3.24) с центрированной разностью.

Если в представление (3.26) ввести большее число членов, например

то добавочные условия для определения коэффициентов от а до е могут быть получены из соотношения (3.27), модифицируемого при помощи требования, что коэффициенты при производных высшего порядка обращаются в нуль. Однако схемы, основанные на дискретизации повышенного порядка, зачастую встречаются с более строгими ограничениями, связанными с устойчивостью (см. § 4.3), чем это было для схем с дискретизацией низкого порядка. Следовательно, альтернативная стратегия сводится к тому, чтобы некоторые из коэффициентов от а до е позволяли уменьшить ошибку, а другие - улучшить устойчивость. Подобный же подход принимается при построении схем для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [Hamming, 1973]).

6 к. Флетчер, т. 1



§ 3.3. Точность процесса дискретизации

Дискретизация необходима для того, чтобы превратить исходные дифференциальные уравнения в эквивалентную им систему алгебраических уравнений, для решения которых мож* но воспользоваться вычислительной машиной. Если исключить тот случай, когда соответствующее точное решение имеет предельно простую аналитическую форму, то процесс дискретизации обязательно вносит некоторую ошибку. Так, например, центрированная разностная формула (3.24) является точной для полиномов вплоть до квадратичных, тогда как односторонние формулы (3.19) и (3.20) точны лишь для линейных полиномов. О точности можно судить по тому факту, что все члены ошибки аппроксимации оказываются равными нулю для полиномов достаточно низкого порядка.

В общем случае ошибка конечно-разностного представления производной может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности того узла, где оценивается величина производной (см. п. 3.2.2), тогда как оценка главного члена остатка дает достаточно хорошую аппроксимацию ошибки, если только элемент сетки имеет достаточно малый размер. Однако окончательная оценка членов ряда Тейлора возможна только тогда, когда известно точное решение.

Более прямой путь сравнения точности различных алгебраических формул сводится к рассмотрению простой аналитической функции типа Т = ехр л: и к сравнению значения производной, полученного аналитически, со значением, найденным по дискретизационной формуле. В табл. 3.1 демонстрируется подобное сравнение для значений dT/dx оцениваемых в точке X = 1 при аналитической функции вида Т = ехр х\ размер шага составляет Ал: = 0.1. В общем случае трехточечные формулы, будь то симметричные или асимметричные, оказываются значительно более точными, чем двухточечные формулы с разностями вперед или назад, однако значительно менее точными, чем пятиточечная симметричная формула. Как очевидно из табл. 3.1, если величина Ал: достаточно мала, то главный член ряда Тейлора (Р. Т.) дает хорошую оценку ошибки.

Типичные алгебраические формулы для оценки dT/dx при X = 1.0 для значений функции Т = ехр л: приводятся в табл. 3.2. Значения функции оцениваются с интервалом Ал: = 0.1. Как и ранее, трехточечная симметричная формула является точной, однако теперь трехточечная асимметричная формула оказывается неточной. Как и при оценке качества формул для первой производной, главный член ряда Тейлора обеспечивает достаточно точную оценку ошибки.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика