дает менее точную оценку производной. Соответствующее сравнение оценок второй производной демонстрируется на рис. 3.9. Очевидна та же самая общая тенденция, а именно что формула высокого порядка обеспечивает заметное улучшение только тогда, когда сетка является измельченной.

В тех случаях, когда встречаются резкие градиенты, формулы высокого порядка дают намного большие значения производной, чем формулы низкого порядка. Как следствие этого> на заданной сетке члены высокого порядка в выражении ошибки аппроксимации уменьшаются не с такой большой скоростью, как в случае, когда соответствующее точное решение является гладким. В силу той же самой причины, если только сетка не сделана очень мелкой, величина высшей производной в главном члене выражения для ошибки аппроксимации при дискретизации высшего порядка может оказаться настолько большой что суммарная ошибка будет сравнима с той, которая получается при дискретизации низкого порядка.

В качестве общего замечания примем во внимание, что в силу причин, обсуждаемых в § 9.4, следует использовать дискретизацию по крайней мере второго порядка. Использование дискретизации более высокого порядка может быть оправдано лишь в некоторых особых обстоятельствах.

§ 3.4. Представление волн

При многих явлениях, связанных с течением жидкости, движение обнаруживает волновой характер. Поэтому с концептуальной точки зрения оказывается полезным рассматривать точное решение так, как если бы оно распалось на отдельные свойственные ему компоненты Фурье. В этой связи возникает вопрос о том, будет ли процесс дискретизации с одинаковой точностью представлять короткие и длинные волны.

3.4.1. Роль грубой структуры сетки

Метод конечных разностей заменяет непрерывную функцию> g{x) вектором, составленным из узловых значений gj и соответствующим вектору, составленному из дискретных точек сетки Xj. Выбор надлежащего размера элемента сетки Лх зависит от гладкости функции (а:). Неудачный выбор иллюстрируется на рис. 3.10(a), тогда как удовлетворительный выбор показан на рис. 3.10(b). Для получения достаточно точного представления функции g{x), показанной на рис. 3.10(a), потребовался бы значительно более мелкий размер ячейки сетки чем для такой (а:), которая показана на рис. 3.10(b).

Представление Фурье для функции g(x) (которая предполагается периодической) на интервале О х 2п имеет вид

g{x)= Z gme\ (3.28)

т= -ОО

где (=(-1)1/2, яг -волновое число, а - амплитуда моды

Рис. 3.10. Дискретное представление g{x). Сетка - слишком грубая (а) и

удовлетворительная (Ь).

Фурье с длиной волны X = 2тс/т, задаваемая выражением (см. [Hamming, 1973])

\ gix)e- --dx. (3.29)

Вектору узловых значений gj также можно дать представление Фурье, имеющее вид

gl = Z gne 4\ (3.30)

где модальные амплитуды gm задаются в виде

(3.31)

Дискретная природа сетки ограничивает диапазон длин волн, поддающихся представлению. В частности, не могут быть представлены длины волн, более короткие, чем длина волны отсечки X = 2Ах. Это значит, что gj следует рассматривать как длинноволновую аппроксимацию функции g{x). Аналогично этому Г/ \ т. е. приближенное решение, получаемое из (3.5), следует рассматривать как длинноволновое приближение к точ-

= - ш COS [т {xj - qQl (3.34)

Выражение (3.32) следует подставить в трехточечную формулу

. дх J/ 2 Ajc

ЧТО дает

.Ж]/ 2а1 ( iXf-qtn)]+niАх}-COS {[т(ху-/J]-mАх})= -msin [т (Xj.-qt)] sin (m Ал:)

rtiAx * V /

В результате амплитудный фактор для представления первой производной будет равен

AR( -i£Si£ ii:il:i±l. ,з.зб)

ЗРТ [дТ/дх] m Ал:

Пользуясь формулой (3.32), получим центрированную разностную аппроксимацию для дТ/дх в виде

fj ,-2Tf + fj, / [sin(mA/2)]f

-Al--=-пг\ 1 ) cos[m(x,-9U]. (3.37)

ному решению уравнения (3.1). Этот аспект подвергается дальнейшему рассмотрению в § 9.2 и используется при обосновании многосеточных методов (см. п. 6.3.5).

3.4.2. Точность представления волн

Чтобы получить представление о точности конечно-разностных аппроксимаций в тех случаях, когда следует ожидать волнообразного по своему характеру движения, рассмотрим приложение к случаю прогрессивных волн, который задается в виде

Т{х, t) = Re {eirn{x-qt = os [m {x - qt)l (3.32)

где I =(-1)1/2, символ Re обозначает вещественную часть, m - волновое число, как и в (3.28), а q - скорость распространения волны, движущейся в положительном направлении оси X. В фиксированной точке Xj волновое движение является периодическим с периодом Р = 2л/{qm).

Если рассмотреть узел (J, д), то в нем точные значения первой и второй производных Т выражаются в виде

=-msin[m(xqt,)l (3.33)