Амплитудный фактор для представления второй производной имеет вид

sin (0.5m Ajc) \2

= I

Как показывает изучение правой части формулы (3.36), применение конечно-разностной аппроксимации привело к изменению амплитуды производной. В случае длинных волн, когда Л>20Лл:, амплитуда первой производной уменьшается за счет умножения на коэффициент, равный 0.984- 1.000, если используется центрированная разностная аппроксимация. Однако когда на длине одной волны располагается менее четырех ячеек сетки (случай коротких волн), то амплитуда производной составляет менее чем 0.64 от своего истинного значения. При длине волны X = 20Ал: центрированное разностное представление дТ/дх уменьшает амплитуду в 0.992 раза. Однако при длине волны X = 2Ax амплитуда второй производной уменьшается за счет умножения на 0.405. Как отмечалось в п. 3.4.1, длинные волны воспроизводятся более точно, чем короткие.

Если сравнить разностную аппроксимацию вперед для [дТ/дх] по формуле (3.19) с точным значением этой производной для функции f, заданной формулой (3.32), то мы найдем, что ошибки вносятся как в значение фазы, так и в значение амплитуды. Истинная величина амплитуды умножается на коэффициент [sin(mAA:/2)/(mAA:/2)], а уменьшение фазы определяется коэффициентом тАл:/2, что эквивалентно пространственному сдвигу вперед на Ал:/2. Для приведенных выше примеров ошибки по амплитуде и фазе исчезают при Ах-О, т. е. в пределе длинных волн.

3.4.3. Точность формул высокого порядка

Как было указано в п. 3.4.2, представление о точности дискретизации можно получить, рассматривая прогрессивную волну, движущуюся с постоянной амплитудой и скоростью q. Точное решение задается формулой (3.32). Здесь мы воспользуемся тем же примером, чтобы проверить, будут ли разностные формулы высокого порядка воспроизводить волны с более высокой точностью, чем формулы низкого порядка. Конкретно мы будем сравнивать симметричные трехточечную и пятиточечную формулы для дТ/дх и дТ/дх, приведенные в табл. 3.1 и 3.2.

Действуя таким же образом, как при выводе формулы s(3.36), определим амплитудный фактор в применении к пяти-

точечному симметричному представлению dTjdx (см. табл. 3.1); он равен

()-(i-icos.A.). (3.39)

Поведение выражения, определяемого правой частью (3.39), показано в табл. 3.5 применительно к длинным и коротким вол-Таблица 3.5. Отношение амплитуд в случае прогрессивной волны

нам. Амплитудный фактор в применении к пятиточечному представлению дТ/дх (см. табл. 3.2) выражается в виде

AR(2) = l{l -0.25[cos(0.5mAx)F}(-Hgy. (3.40)

Поведение правой части (3.40) в применении к длинным и коротким волнам показано в табл. 3.5. Показанные в этой таблице результаты свидетельствуют о том, что обе схемы дают большую точность в случае длинных волн, причем особенно хорошую точность обеспечивает пятиточечная схема. Однако ни одна из рассмотренных схем не является особенно точной в случае коротких волн. Этот результат согласуется со сделанными ранее замечаниями (см. § 3.3), касающимися сравнительно малых преимуществ использования схем высокого порядка на грубой сетке.

В процессе моделирования некоторой заданной волны измельчение сетки (т. е. введение большего числа точек для

представления каждой длины волны) перемещает решаемую задачу из области коротких волн в область длинных волн. Следовательно, основной вывод, который можно сделать из изучения табл. 3.5, состоит в том, что для точного расчета волнообразных движений необходимо использовать достаточно мелкие сетки.

§ 3.5. Метод конечных разностей

Как уже отмечалось в § 3.1, метод конечных разностей основан на построении дискретной сетки (см. рис. 3.2), замене континуальных производных в исходных дифференциальных уравнениях с частными производными на эквивалентные им конечно-разностные выражения и в перегруппировке членов полученного алгебраического уравнения с тем, чтобы построить алгоритм наподобие (3.5). В данном параграфе все перечисленные аспекты сведены воедино и предложена некоторая простая конечно-разностная программа.

3.5.1. Концептуальная реализация

Различные шаги, совершаемые в процессе применения метода конечных разностей в некоторой заданной задаче, представлены схематически на рис. 3.11.

Сформи ровать сетку

Задать началь ные значения

искомых переменных

Построить конечно-разностные аналоги ДУЧП и граничные условия

переменных

Скорректировать (если необходимо) граничные

значения Т.

и г:

Для каждой внутренней точки 0\ п) провести расчет по алгоритму

и получить. Ту

/7+1

Процесс решения]

Решение

Рис. 3.11. Схема построения решения методом конечных разностей.

Процедура может быть конкретизирована, если применить ее к нижеследующей нестационарной задаче о теплопроводности (диффузии). Пусть теплоизолированный стержень (рис. 3.12) в начальный момент имеет температуру Т{х, 0) =