Программа DIFF применяет схему ВВЦП, определяемую соотношением (3.41), к нестационарной задаче о теплопроводности (диффузии), схематически изображенной на рис. 3.12.

Распечатка программы DIFF показана на рис. 3.13, а различные параметры, используемые в этой программе, описаны в табл. 3.6.

Таблица 3.6. Параметры, примененные в программе DIFF

Программа DIFF присваивает значения различным управляющим параметрам (строка 16), задает Лл: и и выводит на печать различные параметры. На каждом шаге по времени л-f 1 проводится расчет решения (см. схему на рис. 3.11) до тех пор, пока не будут превышены значения NMAX или ТМАХ (строки 72, 73). Затем рассчитывается точное решение (строки 74-91) по формуле

МАХЕХ

-а (2m-1)2 пЧ

т = 1

(3.42)

Это решение получено путем разделения переменных (см. п. 2.5.2). Одновременно с помощью формулы

г/JMAX \ т1/2

RMS = [( Е {Т - TEy)2J/JMAX J (3.43)

рассчитывается среднеквадратичная ошибка При начальных условиях Т{х, 0)=0 и граничных условиях Г (О, t)=T(l, t) = = 100 выдача ЭВМ, задаваемая программой DIFF и соответствующая значению s = 0.5, демонстрируется на рис. 3.14 и показана графически на рис. 3.15.

JHAX= 11 МАХЕХ= 10 NMAX= 500 ТИАХ= 2999.00

S= .500 ALPH .100Е-04 DELT = .500Е+03 DELX .lOOE+00

FTCS(EXPLICIT) CCKCME,

S = .500

500. 1000. 1500. 2000. 2500. 3000.

TD= 50.00 25.00 .00 .00 .00

TD=1C0.00 50.00 12.50 .00 .00

TD=100.00 56.25 25.00 6.25 .00

TD-JOO.CO 62.50 31.25 12.50 3.13

TD=100.00 65.63 37.50 17.19 6.25

TD=100.00 68.75 41.41 21.88 10.16 6.25 10.16 21.88 41.41 68.75100.00

.00 .00 .00 .00 25.00 50.00

.00 .00 .00 12.50 50.00100.00

.00 .00 6.25 25.00 56.25100.00

.00 3.13 12.50 31.25 62.50100.00

.13 6.25 17.19 37.50 65.63100.00

T 3000. TE-100.00 68.33 41.53 22.49 11.68 8.25 11.68 22.49 41.53 68.33100.CO KMS DIF .9418E+00

Рис. 3.14. Типичная выдача по программе DIFF; s = 0.5.

О 0.5 X 1.0

Рис. 3.15. Решение уравнения (4.41) при s = 0.5; устойчивое поведение.

Значение 5, используемое в программе DIFF, служит для задания шага по времени At; значение шага по пространству Ал: = 0.1. При уменьшении 5 уменьшается А что ведет к уменьшению среднеквадратичной ошибки решения. Последнее очевидно из результатов, показанных в табл. 3.7 для условий Г(0, 0)=f(l, 0)=50. Результат, получаемый при s = 0.167. соответствует специальному случаю и будет подвергнут дальнейшему обсуждению в п. 4.1.2.

Если обратиться к строкам 50 и 51 программы DIFF (см. рис. 3.13), то увидим, что значения f (О, 0) и f (1, 0) получаются путем осреднения между тем, что задается начальными

Таблица 3.7. Среднеквадратичная ошибка при t = /щах

условиями, и тем, что соответствует граничным условиям. Эффект задания f (0,0)= f (1,0)= О (т. е. в соответствии с начальными условиями) также демонстрируется в табл. 3.7. Очевидно, что такое задание приводит к существенному увеличению ошибки решения. Если положить 7(0, 0)= 7(1, 0)= 100, то ошибка будет по своей величине аналогична той, которая получалась при f(0, 0)=f(l, 0) = 0.

§ 3.6. Заключение

Как мы видели, дискретизация вносит некоторую ошибку, представление о которой можно получить, рассматривая ошибку аппроксимации по крайней мере для метода конечных разностей. По-видимому, ошибка аппроксимации становится все более точным критерием оценки ошибки решения по мере измельчения сетки (см. п. 4.1.2).

Выбор конкретных формул для представления производных может быть осуществлен путем последовательного исключения тех или иных членов в выражении для ошибки аппроксимации (см. п. 3.2.2). Однако такой подход нередко нуждается в модификации из-за необходимости выбирать некоторые коэффициенты так, чтобы полученный алгоритм был устойчивым (см. §4.3).

Как видно из конкретных примеров, рассмотренных в § 3.3 и 3.4, если точное решение содержит разрывы или очень большие градиенты, то маловероятно, чтобы формулы высокого порядка были существенно точнее формул низкого порядка. Кроме того, при представлении волнообразных движений решения с короткими волнами воспроизводятся менее точно, чем решения с длинными волнами.

Простая конечно-разностная программа DIFF, приводимая в тексте, позволяет проиллюстрировать многие характерные особенности метода конечных разностей. Как показано на конкретном примере, точность конечно-разностного решения уравнения диффузии весьма- чувствительна к тому, каким образом учитываются разрывы, связанные с формулировкой граничных