И начальных условий. Вычислительные решения уравнения диффузии, построенные при различных схемах с различными граничными условиями, обсуждаются в гл. 7.

§ 3.7. Задачи

Аппроксимация производных (§ 3.2)

3.1. Воспользуйтесь методом аппроксимации общего вида (п. 3.2.2) для определения коэффициентов от а до d, входящих в формулу

Какова ошибка аппроксимации, соответствующая данной формуле?

3.2. Трехслойная явная дискретизация членов уравнения dTjdt - - адТ/дх = О приводит к соотношению

гл-1 ОГ I 1 ст +1

0.5Г~ -2г;+ 1.5Г;+

(1 + d) {Т , - 2Т + T.f d (Т , - 2Т -f T.f Ах Ajc2

(a) Разложите каждый член этого соотношения в ряд Тейлора с целью определения ошибки аппроксимации всего уравнения при произвольных значениях d.

(b) Воспользуйтесь методом аппроксимации общего вида, чтобы выбрать d как функцию s и чтобы схема имела при этом четвертый порядок точности по А:. При решении этой задачи будут полезными формулы, следующие за (4.11).

Точность процесса дискретизации (§ 3.3)

3.3. Для случая у - sin ях/2 получите dy/dx при х ~ 0.5, выбирая Ах = = 0.1 и используя формулы

dx 2Ajc

(b) (с)

dy yf+x-yj dx Ajc

dy У1-1-У-2 + У{+Х-У1+2

dx 12AJC

после чего сравните точность полученных результатов.

3.4. Повторите решение задачи 3.3 со значениями Ал: = 0.05, 0.025, 0.0125 и определите, будет ли сходимость по изменению А;с согласовываться с формой главного члена в выражении для ошибки аппроксимации. Для решения этой задачи рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ. Чтобы уловить ошибку, связанную с применением схемы (с), может потребоваться счет с двойной точностью.

3.5. Для случая у = sin пх12 получите dy/dx при х = 0.5 со значениями Ах = 0.1, 0.05, 0025, 0.0125, используя формулы

dx ШК

после чего сравните точность полученных результатов и определите соответствие сходимости с формой главного члена в выражении для ошибки аппроксимации Для решения этой задачи рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ, при необходимости применяя счет с двойной точностью.

Представление волн (§ 3.4)

3.6. Для случая прогрессивной волны

Т(х, t) = cos [т (х - qt)]

покажите, что использование аппроксимации df/dt [т - ТуМ эквивалентно применению формулы

тогда как использование аппроксимации df/dt (1.5Гу - 2Т -\--f 0.5Гу ~)/А/ эквивалентно применению формулы

= sin (O.SmA/) 3 sin m x - q -

- sin

Покажите, что в пределе sin(0.5mAO0.5mA/ и cos(0.5mA/)1.0 оба вышеприведенных выражения эквивалентны между собой. Кроме того, покажите, что в пределе O.bmqt -0 оба этих выражения совпадают с точной оценкой величины дТ/dt.

Метод конечных разностей (§ 3.5)

3.7. Модифицируйте программу DIFF путем использования для внутренних точек нижеследующей симметричной пятиточечной схемы:

дТ -Т ,/\2 + 4Г ,/3 - 2.5Г. -f 4Г/3 Г.,/12

дх x

При j - 2 используйте формулу

дЧ ПТ ,1\2 - 5Г/3 + O.ST, + Tj/3 - Г.з/12

а также эквивалентную этой формулу для / = JMAX-1.

(a) Постройте решения для Ал: = 0.1 при s = 0.3, 0.2, 0.1.

(b) Какова точность решения в сравнении с точностью схемы ВВЦП?

3.8. Модифицируйте программу DIFF путем введения взамен схемы ВВЦП следующей схемы:

0.5Гу- - 2Т] + 1.5Г+ а {tJ - +

Для первого шага по времени используйте формулу с разностью вперед по времени, т. е. дТ/dt - Г )/А/.

(a) Постройте решения для А: = 0.1 при s == 0.5, 0.3, 0.1 и сравните их -с решениями, построенными с помощью схемы ВВЦП.

(b) Проанализируйте изменение точности при уменьшении 5 и укажите, насколько оно совпало с вашими ожиданиями. {Подсказках следует рассмотреть выражение для ошибки аппроксимации, соответствующее задаче 3.2.]